conferencias plenarias - Comite Latinoamericano de Matematica ...

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa
Nivel Superior.
Cálculo
Resumen
158
Propiedad del Valor Intermedio.
Jorge E. Hernández U.
herced@pty.com
Universidad de Panamá, Panamá
Una propiedad importante que satisfacen las funciones continuas es la siguiente:
(PVI): Sea f: [a,b] → R una función y sea x1, x2 ∈ [a,b]. Si f(x1) < y < f(x2), entonces
existe un número real x entre x1 y x2
tal que f(x) = y.
En este curso discutiremos el principio del extremo superior de los números reales y lo
relacionaremos con los otros principios de completitud, en particular con el principio de los
intervalos encajados de Cantor (PIEC). Usando (PIEC) probaremos que la propiedad del valor
intermedio es una condición necesaria para la continuidad. Posteriormente, estudiaremos con
detalles las funciones que satisfacen (PVI) y estableceremos una condición suficiente para la
continuidad de funciones que satisfacen (PIV), la cual se enuncia en el siguiente teorema:
Teorema: Sea f: [a,b] → R una función que satisface (PIV) y supongamos que para cada y
∈ R, el conjunto
Ey = {x ∈ [a,b] : f(x) = y} es un subconjunto cerrado de R. Entonces f es continua en [a,b].
Finalmente estableceremos que la derivada de una función satisfacen (PVI) y
presentaremos algunos ejemplos que ilustren la teoría presentada en el curso.
Referencias bibliográficas
Bartle, Robert. Introducción al análisis matemático de una variable. Editorial Limusa S.A.
México. 1984.
Bressound, David. A Radical Approach to Real Analysis. Editorial The Mathematical
Association of America. Washington, DC. 1994.
Fischer, Emanuel. Intermediate Real Analysis. Editorial Springer-Verlag. New York. 1983.
Stromberg, Karl. An Introduction to Classical Real Analysis. Editorial Wadsworth, Inc.
California. 1981.
Swokowski, Earl y Otros. Calculus. Editorial PWS Publishing Company. Boston. 1994.