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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa
Componente epistemológica:
Las dificultades que se presentan, tanto en la apropiación de la noción de función en
general, como de logaritmo y exponencial en particular, pueden dotarse de significado
indagando sobre la génesis de tales conceptos, y en su devenir en objetos de saber a ser
enseñados; a la vez que explorando las concepciones de los profesores, y su epistemología,
pues conocer ambas vertientes, puede aportar datos para comprender los obstáculos que se
perciben en los estudiantes.
La génesis del concepto de función es una de las más interesantes de rastrear en la
historia, y muchas son las opiniones vertidas al respecto. Este concepto comienza a gestarse
en la antigüedad, aseveración amparada por tablas confeccionadas por los babilonios (2000
años A. C.) en las cuales encontramos correspondencias entre cantidades, aunque no pueda
considerarse que, en esta época, se tuviera conciencia de tal noción. En la Edad Media en
cambio, se cuenta ya con ideas mas acabadas al respecto, con representaciones gráficas y
verbales, en tanto que sus expresiones analíticas aparecen recién en el siglo XVII gracias a
los aportes de Vieta y Descartes entre otros. La definición que manejamos hoy en día, es
atribuida a Dirichlet, por algunos, y a Lobachevski por otros, en el siglo XIX, y para llegar a ella
se necesitó el aporte y las discusiones de muchos matemáticos, destacándose entre ellos los
Bernoulli y Euler, cuya concepción de función y continuidad aparece frecuentemente entre los
estudiantes.
Dando una hojeada a la historia, encontramos que los logaritmos y las exponenciales han
estado estrechamente vinculados, desde sus albores como nociones matemáticas, surgidas a
principios del siglo XVII. En el caso de los logaritmos, de la mano de Napier, para facilitar los
cálculos necesarios para el desarrollo del comercio, la astronomía y la navegación. Es así,
que el desarrollo histórico de la construcción de las funciones logaritmo y exponencial, ha
estado plagado de discusiones y argumentos dispares, donde las nociones de número y de
exponentes fueron centrales en las mismas.
Para comprender el proceso que diera lugar a la consolidación de estas nociones como
objetos matemáticos, nos apoyamos en el trabajo de (Cantoral et al., 1983) y en la tesis de
(Lezama, 1999).
De la revisión de tal material se infiere que las relaciones entre las series aritmética y
geométrica se encuentra desde el origen de estos conceptos. En efecto, Napier definió y
construyó sus tablas a partir de un exhaustivo estudio de relaciones entre las series
geométrica y aritmética asociadas, ideando un modelo que le permitiera “hacer continua su
tabla” utilizando los valores discretos que el proceso anterior le proporcionaba. Podemos
considerar además, que estos conceptos surgen en el contexto aritmético pero con auxilio del
geométrico y del físico para establecer significados. La noción de “base” requiere más tiempo
para su construcción y no surge dentro de la teoría de Napier tal como la conocemos hoy en
día. Sin embargo, en la necesidad de extender la tabla construida con valores aislados hacia
una continua, podemos percibir el primer acercamiento a la noción de “función logaritmo”.
El sustento teórico de los logaritmos fue ampliado durante el siglo XVII gracias a la
representación gráfica en coordenadas rectangulares y polares, de una variable, lo cual abre
camino hacia su comprensión. Aparecen entonces, la curva logarítmica, la espiral logarítmica
y la llamada hipérbola, la cual es especialmente importante en la historia de los logaritmos. Es
St. Vicent, en 1647, quien logra establecer que “si las paralelas de una asíntota son trazadas
entre la hipérbola y la otra asíntota, de tal forma que las áreas sucesivas de los cuadriláteros
mixtilíneos así formados sean iguales, entonces las longitudes de tales paralelas forman una
progresión geométrica” (Cantoral et al., 1993). Por otro lado, observamos que la gráfica de la
función logaritmo no fue producto de la tabulación de sus valores, sino tema de múltiples
exploraciones.
Así mismo, Descartes introduce el simbolismo moderno para potencias de números
mediante una notación que es aceptada rápidamente por matemáticos de la época, como
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