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Conferencias Especiales
El binomio de Newton se escribe por vez primera como (P + PQ) m/n y no, como es usual
en textos contemporáneos, mediante la expresión (a + b) n . Sostenemos que ello obedece a
una concepción alternativa que se apoya en una epistemología que difiere de la que hoy
enseñamos en clase, que atiende a un programa en el dominio de la ciencia con el que se
busca predecir el comportamiento de los fenómenos de cambio. Un programa de
matematización de los fenómenos modelables mediante la metáfora del flujo de agua aplicada
por igual a la evolución de otras magnitudes (Cantoral. R. y Farfán, R. M. 1998).
En una carta que Isaac Newton dirige en 1676 a Henry Oldenburg -entonces secretario de
la Royal Society-, presenta su ya célebre teorema del binomio para potencias fraccionarias, lo
que representa una generalización de algunos trabajos anteriores sobre series y anticipa la
idea de la predicción. Según Newton, tratando con el problema de la cuadratura de la
hipérbola y haciendo uso de una ingeniosa interpretación del triángulo de Pascal, él observó
que los arreglos {1}, {1, 1}, {1, 2, 1}, {1, 3, 3, 1}, etc., que componen el triángulo y que suelen
verse como resultado de un cierto ordenamiento numérico, pueden ser interpretados mas bien
como una colección de sucesivas potencias del número 11, esto es: 1=11 0 , 11=11 1 , 121=11 2 ,
1331=11 3 , etc.
1
1
1
3
Para Newton, este teorema planteaba en su forma más general, que para el racional m/n
se cumple la igualdad siguiente:
donde
m
n
m
n
1
2
m − n
2n
m
( P + PQ)
n = P + AQ + BQ + CQ + etcétera
1
3
1
1
m − 2n
3n
m
m m − n
n A = P , B = AQ,
C = BQ,
etc.
n 2n
La primer cuestión que queremos tratar se refiere al significado de la expresión P + PQ. La
época en la que el teorema del binomio es publicado se caracteriza por la pretensión de los
científicos por modelar, matemática y lógicamente, la evolución de las cosas que fluyen.
Digamos que se interesan por predecir. Imaginemos que P representa alguna magnitud física,
por ejemplo la temperatura o la posición. De modo que al ser la magnitud Q menor que la
unidad, es decir 0 < Q < 1, tendremos también que 0 < PQ < P, y en consecuencia la magnitud
P + PQ representa el estado próximo de P, su valor un instante después; mientras que el
término PQ representa a un pedazo pequeño de P. Es así que la expresión P + PQ representa
el estado futuro en la evolución de P. Finalmente como la expresión y = x m/n representa a una
función lo mas general posible en el sentido de la época, la expresión que nos ocupa, (P +
PQ) m/n muestra el estado futuro que habrá de tener la expresión P m/n un instante después. De
este modo el trabajo consistirá en buscar el valor que habrá de tomar la expresión (P + PQ) m/n
sólo en términos de los valores de inicio. Esta expresión para el binomio representa el intento
por predecir el estado futuro usando sólo los datos que la situación nos plantea de inicio. Esta
visión fue desarrollada ampliamente durante el siglo dieciocho y se consolidó como un
paradigma socialmente aceptado. La ciencia buscó entonces predecir la evolución de los
fenómenos de flujo apoyándose en la metáfora del flujo de agua, aquél que no cesa ni invierte
su destino.
Sostenemos que esa noción de predicción se construye socialmente a partir de las
vivencias cotidianas de los individuos. Pues en ciertas situaciones necesitamos conocer el
valor que tomará una magnitud con el paso del tiempo. Se requiere determinar entonces el
valor que tomará la variable dependiente antes de que la independiente pase del estado uno
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