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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa
Observemos que una respuesta afirmativa del Problema 2’ proporcionaría rápidamente
una respuesta afirmativa del Problema 2 mediante una oportuna homotecia. Por lo tanto, aquí
también corresponde una respuesta negativa.
Por otra parte, observemos que el conjunto de todos los puntos del plano con
coordenadas racionales, es decir el conjunto Q2, también es un espacio vectorial aunque esta
vez sobre el cuerpo Q de los números racionales. Podríamos entonces intentar construir una
geometría análoga a la Geometría Euclidiana en dicho espacio vectorial. Sin embargo, la
respuesta negativa al Problema 2’ nos dice que tal geometría sería muy pobre, por ejemplo no
tendría triángulos equiláteros. Muchas de las primeras construcciones con regla y compás de
los Elementos de Euclides fracasarían en dicha geometría.
2.- Tales de Mileto.
Tales fue un filósofo, astrónomo y matemático griego que vivió en un entorno del año 600
a.C.. Dentro de la Matemática es recordado particularmente por el teorema que lleva su
nombre, aquél que afirmaba que la proporcionalidad de segmentos en dos rectas
transversales se mantiene cuando dichos segmentos son producidos por intersección con una
familia de rectas paralelas. Este importante resultado es el punto de partida para los criterios
de semejanza de triángulos, y por ende, también para la aparición de las funciones
trigonométricas que se basan, precisamente, en la constancia de los cocientes entre lados
homólogos de triángulos semejantes u homotéticos.
¿Cómo demostró Tales este famoso teorema? No han llegado a nuestros días
documentos escritos por este autor, pero podemos decir casi con seguridad que Tales no
demostró el teorema que lleva su nombre. La razón es muy simple, la idea de
“demostración matemática” no existía aún en tiempos de Tales, sino que apareció mucho
más tarde con Euclides. ¿Entonces cómo conoció Tales este resultado tan importante?
Posiblemente por la observación inteligente de una gran cantidad de mediciones. La
justificación teórica de sus observaciones llegó mucho más tarde.
¿Cómo se enseña en la actualidad este teorema? Lamentablemente debo decir que en
muchos libros de texto para la enseñanza media este resultado se “demuestra” erróneamente.
Aparece en estas falsas demostraciones una afirmación de este tipo:
«Determinemos un segmento U suficientemente pequeño para que quepa un número
exacto de veces en A B y otra cantidad exacta de veces en B C »
Este enunciado presupone que el cociente entre las longitudes de los dos segmentos
indicados es un número racional. Si no lo fuera, el pequeño segmento U no podría existir. Por
lo tanto, tal demostración resulta ser falaz, en el contexto del plano R 2 . Es claro que los
alumnos, a esta altura, no han desarrollado suficiente capacidad crítica como para detectar la
falacia y admiten esta demostración como buena. Por lo tanto, el docente que enseñe esta
demostración está mintiendo a sabiendas a sus alumnos. Eso me sucedió a mí personalmente
cuando aprendí este teorema por primera vez, casi medio siglo atrás. Unos años después,
cuando adquirí suficiente madurez matemática para advertir la falacia, me sentí muy
defraudado por esta mentira. El contraargumento de los autores de dichos libros es que una
demostración correcta es muy engorrosa y exige una sofistificación matemática superior a la
esperable en los alumnos. En tal caso me pregunto si no sería más juicioso (y más ético)
suprimir la falsa demostración. Simplemente introducir el enunciado, apoyándolo en un
intenso trabajo de mediciones y comprobaciones experimentales por parte de los alumnos.
¿Es tan importante en nuestra enseñanza la demostración de un teorema? ¿Cuánto aprenden
nuestros alumnos de una falsa demostración? ¿Podemos pretender que sea formativa la
enseñanza de un argumento falaz?
Sin embargo, no quiero dejar la impresión de que el Teorema de Tales es indemostrable.
Para citar una referencia en castellano, sugiero consultar el libro Geometría Elemental de A.
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