conferencias plenarias - Comite Latinoamericano de Matematica ...

Los Números Irracionales en la Geometría Elemental
Conferencias Especiales
Fausto A. Toranzos
fautor@dm.uba.ar
Depto. de Matemática, Universidad de Buenos Aires
Argentina
Habitualmente el concepto de número irracional se estudia en el nivel medio en conexión
con otros contenidos de Aritmética, de Teoría de Números o de Álgebra, pero no relacionado
con la Geometría. Es propósito de esta conferencia mostrar, por el contrario, que los números
irracionales están estrechamente imbricados en los primeros resultados de la Geometría
Euclidiana elemental. Tal vez sería oportuno observar acá que el adjetivo irracional en este
contexto no significa “absurdo” u “opuesto a la razón”. Su significado deviene de la forma
negativa aplicada a la palabra latina ratio, es decir cociente. Por lo tanto, irracional denota
“no expresable como cociente de números enteros”.
1.- La pesadilla de Buffalo Bill.
Problema 1: Buffalo Bill sueña una pesadilla geométrica. En un plano cartesiano él está
ubicado en el origen de coordenadas. En cada punto de coordenadas enteras hay un
búfalo virtual (un punto). “Como hay infinitos búfalos, en cualquier dirección en la que
dispare mi rifle mataré un búfalo” es la reflexión de Buffalo Bill, buen cazador pero mal
geómetra. ¿Es correcta esta reflexión?
Este es un problema geométrico. Puede plantearse a alumnos que conozcan las primeras
nociones de plano cartesiano y la ecuación de la recta. Deberá aclararse que un disparo de
Buffalo Bill es una semirrecta que parte del origen de coordenadas. Sin embargo, los
destinatarios del problema no podrán resolverlo a menos de que tengan una idea clara del
concepto de número irracional. Por supuesto, la respuesta correcta es negativa. Cualquier
disparo con pendiente irracional no sirve para matar búfalos.
Un poco al margen de la cuestión central, observemos que éste es un verdadero
problema y no un simple ejercicio que se resuelve mediante la aplicación rutinaria de algún
algoritmo o fórmula antes adquirida. Como tal, este problema admite generalizaciones y
variaciones muy interesantes. Veamos algunas:
Problema 1’: Sea ε un número muy pequeño pero positivo. Supongamos ahora que los
búfalos no son puntos sino círculos de radio ε centrados en los puntos de coordenadas
enteras. La pregunta es la misma que la del Problema 1.
En este caso la respuesta es afirmativa, pero su obtención dista de ser trivial. El alumno
deberá emplear una buena combinación de argumentos geométricos y topológicos. Una vez
más, la idea de número irracional estará en el centro de esos argumentos.
Problema 2: Estamos en el plano cartesiano. ¿Existe algún triángulo equilátero T tal que
todas las coordenadas de sus 3 vértices sean números enteros? En otras palabras, en las
condiciones del Problema 1, ¿existen 3 búfalos que sean equidistantes entre sí?
Razonamientos muy similares a los utilizados en los dos problemas anteriores permiten
verificar que aquí la respuesta es negativa. Esto está conectado con la irracionalidad de
algunas funciones trigonométricas del ángulo π
3
. Por fin, una generalización casi inmediata
de este problema sería:
Problema 2’: Estamos en el plano cartesiano. ¿Existe algún triángulo equilátero T tal que
todas las coordenadas de sus 3 vértices sean números racionales?
23