conferencias plenarias - Comite Latinoamericano de Matematica ...

= f V
W ∫ PdV [7]
Lo que a su vez se puede obtener de la fórmula habitual de trabajo de una fuerza
W
Vi
= f l
∫ Fdx
li
Reportes de Investigaciones
realizando simplemente un cambio de variable (y recordando que la presión representa la
fuerza por unidad de superficie).
Si se trata de un gas ideal y el trabajo se realiza en condiciones isotérmicas y
cuasiestáticas resulta
Vf
W = ∫ nRT dV = nRT log Vf [7]
Vi V Vi
Este ejemplo permite trabajar con cambio de variables en un contexto diferente al habitual,
más relacionado con los temas de la carrera.
2.- Longitud de arco de una curva.
Otra aplicación frecuente en los textos de cálculo es la obtención de la fórmula para la
longitud del arco de una curva, la que luego se ejemplifica calculando longitudes de arcos de
parábolas, circunferencias, cicloides, etc. ([1], [2] y [3]). Si bien es una aplicación interesante
del punto de vista geométrico no queda bien claro la relación que pueda tener con los
problemas de la vida real. Un ejemplo muy interesante que permite dar una aplicación más
concreta es el que sigue:
c) Cable colgado:
Si se tiene un cable colgado entre dos postes (como un cable de transmisión de energía
eléctrica) y el cable tiene una densidad lineal conocida e (por ejemplo en Kg/m) entonces
eligiendo los ejes adecuadamente e igualando las fuerzas (peso y tensiones en los extremos
del cable) resulta la ecuación:
que por derivación da
e x
2
y' = ∫ 1+
y'
dx
0
[8]
T
1
e
y ''= 1+
y'
T
1
con las condiciones y(0) = a e y′(0) = 0 que surgen de la geometría del problema y
de la posición de los ejes.
Esta ecuación diferencial sencilla se puede resolver por variables separables, luego de
hacer el cambio de variable u = y′ y el resultado es obviamente una catenaria.
Además de involucrar temas como Ecuaciones de Variables Separables, Condiciones
Iniciales y Cambio de Variables en Ecuaciones Diferenciales (temas que pueden darse más
adelante), en la deducción de la primera ecuación (es decir la que relaciona y′ con una
2
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