conferencias plenarias - Comite Latinoamericano de Matematica ...

Resumen
Reportes de Investigaciones
Resignificación de las Ecuaciones Diferencial de Segundo Orden
Ricardo Cantoral Uriza
Francisco Cordero Osorio
Héctor Márquez Martínez, hmarquez@mail.cinvestav.mx
Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN
México
Desde Lagrange al Análisis Matemático se ha producido gran cantidad de material que es
de interés para las aplicaciones técnicas. Volterra y Hilbert con el cálculo funcional,
proporcionaron nuevos métodos básicos; se creó el cálculo vectorial; se integraron diversos
tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, llegándose a definir nuevas e importantes
funciones; las ecuaciones integrales no sólo demostraron su utilidad intrínseca sino que
permitieron alumbrar con nueva luz la teoría general de las ecuaciones diferenciales;
ecuaciones lineales y no lineales en las derivadas parciales.
Se escucha la opinión de que lo que el estudiante aprovecha en cuanto a matemáticas es
únicamente conocer bien las fórmulas y saberlas emplear, tal es el caso, del cambio de
variable en las ecuaciones diferenciales de segundo orden; esto implica que posea una idea
clara de los principios básicos y una información general acerca de las teorías, pero deja
sobreentender que todo lo que es aclaración rigurosa de conceptos, demostración de
teoremas o razonamiento orientado hacia la obtención de las fórmulas es algo meramente
especulativo, innecesario para quien no tenga intereses que no sean las aplicaciones y los
significados de la teoría. A mi parecer esto no es correcto:
1º. Porque todo resultado matemático, como conclusión de una labor mental ordenada e
intuitiva, difícilmente puede separarse de ésta sin menoscabo para una apreciación
correcta y completa del resultado mismo.
2º. Porque los procesos conocidos de razonamiento matemático son de por sí una
valiosísima herencia humana que estamos utilizando, de manera mas o menos
consciente, cada vez que escudriñamos la naturaleza; en cuanto más lo hayamos
asimilado, transformándolos en patrones de nuestro propio pensamiento, tanto más
resultará multiplicada nuestra capacidad para la investigación.
Una ecuación diferencial es una ecuación cuyos términos contengan coeficientes
diferenciales (derivadas) de una función desconocida. El campo de las ecuaciones
diferenciales es muy vasto y se divide en: ecuaciones diferenciales ordinarias, por un lado y
ecuaciones diferenciales parciales, por otro. Las ecuaciones diferenciales ordinarias sólo
involucran derivadas ordinarias de una función de una sola variable independiente y las
ecuaciones en derivadas parciales involucran derivadas parciales de una función que
depende de dos o más variables independientes. La otra gran clasificación se efectúa por el
concepto de orden; el orden de una ecuación diferencial, es el orden de la derivada de orden
máximo en esa ecuación. Una ecuación es lineal si es de primer grado en la variable
dependiente y sus derivadas; de otra forma no es lineal.
Se halla la solución de una ecuación diferencial bajo dos formas: solución analítica y
solución numérica. Una solución analítica de una ecuación diferencial, presenta varias
ventajas respecto a una solución numérica:
1. La solución analítica, si no es demasiado complicada, mostrará claramente el efecto
sobre la solución de las constantes que aparecen en la ecuación (estas constantes
suelen llamarse los parámetros de la ecuación). En un problema práctico estos
parámetros representarán cantidades físicas, como la resistencia de un circuito, o la
viscosidad de un fluido
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