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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa
Al analizar los coeficientes de la curva de ajuste, conjeturé que la razón entre el área del
triángulo original y el hexágono central correspondiente era igual a:
9 4
32
2 n −
para n par.
Posteriormente verifiqué la conjetura para otros valores pares de n, y noté que la fórmula
funcionaba bien. Faltaba demostrar que el resultado obtenido era correcto.
Una demostración de la generalización
Para demostrar la conjetura, se sigue el mismo razonamiento que el utilizado en [2].
Utilizaremos el siguiente teorema debido a Steiner-Routh [4]:
Si los lados AB, BC y CA del triángulo ABC son divididos en los puntos L, M y N con
razones λ:1, µ:1, y ν:1 respectivamente, entonces los segmentos AM, BN y CL forman un
triángulo con área
2
( λµν −1)
A =
*(Área Triángulo ABC)
( νλ + ν + 1)(
λµ + λ + 1)(
µν + µ + 1)
Por ejemplo, para n = 4 tendremos (figura abajo), para calcular el área del hexágono
formado, tendremos que calcular el área del triángulo GLN y el área de cada uno de los
triángulos congruentes GHI, JLK y MNO.
3
Para el Triángulo GLN, el punto D divide AB en una razón λ = . De la misma forma, para los
1
puntos E, F tendremos µ = 3 , ν = 3 . Utilizando el teorema de Steiner-Routh, obtendremos
que:
4
Area∆ GLN = Area∆ABC
13
1 3 3
Para el triángulo GHI, vemos que λ = , µ = , ν = , y por lo tanto su área es igual a :
3 1 1
12
Area∆ GHI = Area∆ABC
455
282