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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa
Algunos Ejemplos Concretos
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1.- Cálculo de áreas.
La integral surgió como una respuesta al problema del cálculo de áreas que de alguna
forma ya había sido estudiado por los griegos. En efecto, en el método de exhaución de
Arquímedes [3] ya aparecían las ideas que luego con herramientas más poderosas,
permitieron llegar al desarrollo actual.
Tal vez por ese motivo el cálculo de áreas suele ser la primera aplicación que se presenta
en los cursos y en los textos ([2] y [3]).
Sin embargo, es mucho más interesante para un estudiante de Ingeniería, si el área a
calcular tiene alguna conexión con el problema concreto. La corriente eficaz en un circuito de
corriente alterna y el trabajo de expansión – compresión de un gas son dos claros ejemplos
que vale la pena analizar.
a) Corriente eficaz en un circuito de corriente alterna.
Si una corriente continua de intensidad ip pasa por una resistencia de magnitud R, la
potencia disipada es P = R ip2. Si dicha corriente pasa entre un tiempo inicial ti y un tiempo
final tf , entonces la energía resulta:
ε = R ip2 ∆t siendo obviamente ∆t = tf – ti
Dicha energía coincide con el área bajo la curva de intensidad versus tiempo en el
intervalo [ti , tf], ver por ejemplo Halliday – Resnick – Krane [4].
Si en lugar de una corriente continua se tiene una corriente alterna, de intensidad
tf
i(t) = ip sen ωt entonces la energía vendrá dada por ε = ∫ R 2 ip 2 sen 2 ωt dt
y si se iguala con la energía correspondiente a una corriente continua de intensidad ie (la
intensidad eficaz), o sea:
tf
R ie 2 ∆t = ∫ R 2 ip 2 sen 2 ωt dt
entonces se puede obtener la clásica fórmula
ti
ti
i p
i e = [5]
2
Para llevar a cabo lo anterior es necesario obtener la primitiva ∫ sen2 ωt dt que puede
realizarse utilizando integración por partes o aplicando igualdades trigonométricas.
Una integral similar aparece en problemas elementales de oscilaciones forzadas [6] y
cualquiera de estas opciones permite darle al tema un contexto más motivador que un simple
cálculo de áreas. Es más, en general el estudiante llega de cursos anteriores manejando el
concepto de intensidad eficaz, pero sin haber visto nunca una demostración de la fórmula
antes mencionada. Esta es una excelente oportunidad para llenar ese hueco utilizando el
Cálculo Integral.
b) Trabajo de expansión – compresión de un gas.
El trabajo de expansión – compresión de una gas viene dado por