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Reportes de Investigaciones
Problemática: representaciones y obstáculo didáctico
Las asíntotas de las funciones generalmente están representadas por gráficas como las
de la figura 1.
Figura 1
Cada una de las situaciones asintóticas, que aparecen en la figura 1, aluden a funciones
f(x) que cuando “x tiende a infinito” éstas se aproximan a una constante k o a una recta, y que
cuando “x tiende a un punto b” la función f(x) se aproxima al infinito. Estas representaciones
gráficas y estos argumentos analíticos privilegian dos aspectos que implícitamente “definen la
asíntota de una función”: 1) “la curva se aproxima tanto como se quiera al eje de la x o a la
recta y=k pero no la toca” y 2) “el cálculo de estos límites se hace sobre funciones racionales:
P(
x)
P(
x)
lim = recta y lim = ∞ ”. Implícitamente, el estudiante asume los dos aspectos
x→
∞ Q(
x)
x→b
Q(
x)
como el universo de funciones asintóticas. Sin embargo, cuando el estudiante se encuentra
representaciones gráficas como las de la figura 2, en su experiencia matemática escolar,
requiere ampliar tal universo.
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Figura 2
Para que el estudiante logre ampliar el universo de funciones asintóticas, necesariamente
tendrá que hacerse de una nueva representación. Los dos aspectos anteriores que le han
definido la asíntota de una función tendrán que ser negados. En ese sentido se ha referido a
este hecho como obstáculo didáctico. Necesariamente el estudiante tendrá que reorganizar su
conocimiento y reconstruir nuevos significados para generalizar el concepto de asíntota.
Hipótesis: el comportamiento tendencial
La hipótesis de investigación es formulada en los siguientes términos: cuando las
construcciones de comportamiento tendencial de las funciones hechas por los estudiantes
pasen a ser un argumento en el contexto gráfico, esto posibilitará la nueva representación. Es
decir, un argumento significa una reconstrucción de significados que dan forma a las
situaciones que crean los humanos y que participan en ellas, es una construcción original que
utiliza material conocido, como por ejemplo, las ideas y las concepciones compartidas por los
participantes. El comportamiento tendencial de las funciones significa un argumento que
establece relaciones entre funciones y está compuesto de una colección coordinada de
conceptos y vive en situaciones del Cálculo donde se discuten aspectos globales de variación.
Además, el argumento ha sido identificado o hallado en situaciones escolares, muchas veces
en forma implícita y siempre en un marco funcional que organiza contenidos matemáticos.
En ese sentido, la asíntota de una función consiste de una función con comportamiento
tendencial. La construcción formula la tendencia y el patrón de comportamiento. El argumento
no sería otra cosa que establecer relaciones entre dos funciones, h y f, a través de determinar
un comportamiento que tiende a otro comportamiento cuando x toma valores grandes, con
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