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Conferencias Especiales
V. Pogorélov (Editorial Mir, Moscú, 1974) que en su página 85 y siguientes contiene una
excelente demostración, elemental y rigurosa, de este teorema. Por supuesto, muchos
docentes podrán sostener que el tiempo y la energía dedicados a la adquisición de tal
demostración excede las posibilidades de un curso elemental de Geometría Euclidiana.
Queda en el criterio docente de cada profesor la elección de la vía de enseñanza de estos
contenidos. Mi posición consiste en afirmar que la enseñanza de una demostración falsa no
debe ser una vía aceptable.
3.- Pitágoras de Samos.
El trazado de ángulos rectos resultaba ser muy importante para la reconstrucción de la
geo-metría de las parcelas del valle del Nilo, cuyos límites habían sido borrados por las
periódicas inundaciones del gran río. Desde tiempo inmemorial se empleaba una herramienta
simple:
Cuerda de 12 tramos,
una cuerda anudada para marcar doce
tramos iguales. Alguien en la profundidad de
la Historia había observado que formando un
triángulo con ella de manera que los lados
comprendieran respectivamente 3, 4, y 5
tramos, el ángulo opuesto al lado mayor
resultaba ser recto. ¡Mucho más simple que
usando regla y compás! Pero esto no podía
ser producto de la casualidad. Alguna
relación matemática debía existir entre estos
números para asegurar que el triángulo fuera
rectángulo. En la segunda mitad del Siglo VI
a.C. Pitágoras, un discípulo indirecto de Tales que vivía en Samos, había formado un grupo
filosófico-religioso que tomó el nombre de su líder, los pitagóricos. Comenzaron a detectar
experimentalmente nuevas ternas de números enteros que podían realizarse como lados de
triángulos rectángulos. La inducción y la posterior deducción llevó a Pitágoras a demostrar su
famoso teorema geométrico. Este y otros descubrimientos ligados a propiedades de los
números enteros (P. ej. la música de las esferas celestiales) hicieron que Pitágoras enunciara
los fundamentos de una cosmología fundada en los números enteros y sus cocientes, los
números racionales. Pero pronto descubrieron los pitagóricos que precisamente el famoso
teorema brindaba un contraejemplo de primera mano a esta cosmología. Si dibujamos un
triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos midan la unidad, la medida de la hipotenusa (es
decir, 2 ) no es un número racional. Para salvar esta contradicción crearon la idea de
“magnitudes inconmensurables”, es decir longitudes que no se pueden medir, o números que
no existen. Un siglo después, las paradojas de Zenón de Elea terminaron de destrozar el
atomismo aritmético de los pitagóricos. Al mismo tiempo, estas paradojas sembraron las ideas
de “sucesión infinita” y “límite”, que muchos siglos más tarde darían origen al Cálculo
Diferencial. Pero en el terreno de la Geometría otra vez la irrupción de los números
irracionales hizo estremecer sus cimientos. Esta crisis solamente pudo resolverse gracias a la
Teoría de las Proporciones de Eudoxo, discípulo y maestro de Geometría de Platón.
4.- Sócrates de Atenas.
Un siglo después, en la segunda mitad del siglo V a.C. aparece en Atenas Sócrates, hijo
de un escultor y una partera, y una de las pocas cumbres intelectuales de la Humanidad. En
toda su vida no escribió una línea, pero sus ideas perviven en los Diálogos, obra cumbre de
su principal discípulo, Platón. Los Diálogos son conversaciones entre dos o más personas que
discuten sobre un tema de interés filosófico. En uno de estos diálogos, el Menón, Sócrates
habla con un esclavo o sirviente, es decir una persona humilde aunque lúcida y sagaz. Le
muestra una baldosa cuadrada y le pregunta si sería capaz de fabricar otra baldosa que
tuviera la misma forma y el doble de la superficie de la que tienen. - Es fácil - dice el esclavo -
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