comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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s'exprimer rationnellement à l'aide des (n + i) variables y,,
par une relation
oïl s est lin polynôme en s, y,
anahtiquement de a?, j:, , . .
. , x,,,. Etudions les intégrales premières d'un tel
. .
. , y„, z, liées
, . .
. , y„ qui, de même que les X, Y, dépend
système algébrique par rapport à y,, .... y„. On voit immédiatement qu'on
peut supposer ces intégrales rationnelles par rapport à j',
(2) C = R(-,,v,, .... y„..r,-t- .r„,)
une telle intégrale, de degré 'i en z, y^,
miner toutes les intégrales (2)
, . .
. , y„, z ; soit
. .
. , y„. Proposons-nous de déter-
(de degré v) d'un système (i) donné.
» Deux cas sont à distinguer, suivant que le système (i) admet ou non
des intégrales premières de la forme
(3) F{x, X,, . . .,x„,) =^ conat.
» Premier cas. — Le système (i) n'admet pas d'intégrales premières de la
forme (3).
» Les intégrales cherchées (2) ne sauraient dépendre que d'un nombre
fini de paramètres arbitraires, et leurs singularités non j^olaires sont Jixes
(indépendantes de ces paramètres). Ces singularités, ou bien coïncident
avec les singularités des X, Y, ou bien sont données par une relation
Yii{x,x,, . . .,x„) = o
qui est une intégrale première particularisée du système. Si les X, Y sont
algébriques en x, x^, . . ., r,,, il en est de même de H.
» Il suit de là que les intégrales (2) dépendent de l'intégration d'une
équation différentielle ordinaire (E) à points critiques et essentiels fixes. A
priori, l'intégrale générale de i'équalion (E) peut renfermer ses con-
stantes algébriquement ou sous forme transcendante. Dans la première
hypothèse, (E) s'intègre par quadratures ou se ramène à une équation linéaire.
Cette première hypothèse est sûrement réalisée dans le cas où m
est nul, et, dans le cas où (les X, Y étant algébriques) l'intégrale générale
de (i) est algébrique.
» Deuxième cas. — Le système Çi) admet des intégra/es premières de la
forme (3).
)( Soitj le nombre des intégrales (3) distinctes (i