comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la délerminaiion du groupe de transforma-
tions d'une équation différentielle linéaire. Noie de M. F. Marotte, pré-
sentée par M. Emile Picard.
« I. La recherche du groupe de transformations défini par M. Picard
pour une équation différentielle linéaire d'ordre n exige la résohition
préalable des problèmes suivants :
» 1° Détermination de tous les groupes de transformations linéaires homo-
gènes algébriques à n variables. — Les travaux de MM. Klein, Jordan et Lie
font connaître, pour n = 2, 3 et 4, tous les groupes discontinus et continus;
il serait facile de déterminer les groupes mixtes.
» 2° Former pour chacun de ces groupes un système caractéristique d'inva-
riants différentiels. — Lorsque les équations du groupe sont connues, ce
problème n'exige que des éliminations; on trouve ainsi les invariants
a = 9(j,, ...,J«.>V ••)' '' =
Kj-'
•••'.y»'/.' •••)'
qui sont fonctions rationnelles de j,, . . ., 7„ et de leurs dérivées jusqu'à
l'ordre n.
» De plus, on peut form.er, par élimination, les résolvantes dont dé-
pendent les invariants u,v, . . ., considérés comme fonctions de x.
^{x,u,u', ...) = o, W{x,v,v', ...) — o,
» 3° Rechercher enfin les intégrales rationnelles de ces équations. — Or
elles font partie d'une classe remarquable d'équations différentielles étu-
diées par M. Painlevé {Comptes rendus, juillet 1894)-
» L'intégrale générale de l'équation $ s'écrit en effet
U =