comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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Iransmiilalions que je nomme additùes et elles sont déterminées par la
proposition suivante :
M S désignant le symbole opératif d' une iransmulalion additive, uniforme
et coniinue, à n variables, on a, quelle que soit la fonction régulière u.
Si
les coefficients «^ ^. j^, de la série du second membre, étant des fonctions
données des variables a;, , .r^, . . • , a:„.
» En appliquant cette proposition aux opérations connues, on arrive
à des formules très intéressantes. Pour ne citer qu'un exemple, je donnerai
la suivante :
p^y--^a, "-T-_^
m = i
(a_ ffi-f-i) (a — /n + 2) . . . (a — i)a x"'-'^ d'" u
f (m + i — a) mT dx'" '
qui donne la dérivée D*a, d'une fonction u de la variable x, d'indice a
fractionnaire ou négatif
M 2. Toute transmutation additive, uniforme, à une seule variable x,
étant définie par une relation de la forme
du d'à d"'u
EM = a„M -I- a. ^ + a, -(- . . . ^ -f- a,„ ^^, H- . . ..
on peut l'écrire, symboliquement,
en posant
f(x,z) =a„-f-a,z-t-fl2S="j- . . . +
a„s'"-h
)) La fonction y(a7, s) caractérise l'opération t; je VappeWe la fonction
opérative de la transmutation.
» Lorsque la sériefi x, ;t- ) " est convergente, pour toutefonction u régulière
dans un certain domaine autour du point x, la fonction opérative f(^x,z) est,
pour cette valeur de x, une fonction entière du genre i ou o.
u Ce symbole opératif jouit évidemment de propriétés analogues à celles
des symboles opéralifs finis qui proviennent des premiers membres d'équa-
tions différentielles linéaires. Je signale, entre autres, la formule sui-
vante
L/?J — ? / -^ '^ '^
2>.r ôz dx'- dz- " ~^
dx" ôz"- + • • •'