comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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toutes ces réductions et tous ces dépLicemenls s'effectuant d'ailleurs sans
traverser les lignes a. De celle façon, nous avons remplacé la surface ini-
tiale S par un certain nombre de surfaces fermées engendrées par une
petite courbe située dans un plan j, = K, en désignant par K une constante
qui varie avec j.^ suivant une loi en grande partie arbitraire. Chacune de
nos nouvelles surfaces rentre dans le type des surfaces étudiées au début
du paragraphe précédent; l'ensemble des valeurs de rj et de j', donne sur
le plan de la variable y une courbe fermée, et à chacpie point de celle-ci
correspond une petite courbe dans le plan de la variable x. Il est donc
démontré que tous les résidus de Vintégrale double peuvent être regardés
comme des périodes cycliques ou polaires d'une intégrale ahélienne.
» 4. Pour donner un exemple, prenons le cas très simple de l'intégrale
P(^,.r)
// Q(^,y)R(x,j) dxdy.
On suppose que les polynômes Q et R s'annulentpoura; = j = o, etque ce
point est un point simple de rencontre pour les deux courbes Q = o, R = o.
Pour une valeur de v voisine de zéro, Téqualion Q = o a une racine x^
voisine de zéro, et l'équation R = o une racine x^ voisine de zéro. Prenons
comme courbe C (n° 2), une courbe dans le plan des x entourant x^ et
laissant x.^ à son extérieur. Quand la variable y décrit autour de l'origine
une courbe fermée r suffisamment petite, les points x, et x^ reviennent
à la fin à leur position initiale, et. si C en se déformant reste suffisamment
rapproché de Xf,
il laissera toujours x^ à son extérieur. On peut, par
exemple, supposer que C est un cercle de rayon fixe assez petit avant x^
pour centre. Le calcul de la valeur de l'intégrale double, sur la surface
fermée ainsi définie, est immédiat, et l'on trouve,
--41:
\dy da: dx rfjA.=„
» 5. Je termine par une remarque qui a plutôt un intérêt historique.
Didon {Annales de l'École Normale, i^'j'i) a considéré autrefois l'intégrale
suivante :
^.dx dv
ff f(^,y)-'?(.^,f)
où A est le déterminant fonctionnel dey" et de 9. Deux contours fermés C
etC sont tracés respectivement dans les plans des a; et des j; l'intégrale est
c. R. 1897, I" Semestre. (T. CXXIV, N° 9.) 5"]