comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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et l'on a, en supposant les moments d'inertie distincts, n = q = 3, p, = A>,
p^^ iPo, p3= s. En vertu de la propriété in^'ariante de l'équation
a'") — pa(") = Ij
Il
o,
si le couple H, H, rentre dans ceux de M. Painlevé, il devrait appartenir
à la première classe (y = /i), c'est-à-dire être réductible à la forme de
M. Stàckel, ou bien encore avoir les invariants y,,:,, y^soTsis tO"s nuls.
Voilà précisément ce qui n'arrive pas, car en exprimant H, H, au moyen
des angles d'Euler 0, o, T, on trouve
sin9 / I I I \
T.23— -T..3— -^[x "•" ^ ~ Sj'
sine / I I I \
T.3. = - T32. - -^ l^X "^ Sïï ^ sj'
si 11 e / I I I \
T3I2= — T.32= -l-\^:^ ~ iib
"*" s/
» D'après ces remarques, la recherche de tous les cas où un problème
de Mécanique admet une intégrale quadratique parait une question trop
compli(|uéc pour qu'on puisse espérer en trouver prochainement une
solution définitive. »
Remarque xiir la Communication précédente de M. Levi-Civita;
par M. Appell.
« Les forces vives, indiquées par M. Painlevé dans sa Communication
du 24 janvier 1897, comprennent notamment les forces vives de la forme
T= [9(0; •r,)-HK^'+ ^n)\
(0
X T ( a; , . .., x-\, x^, ..., ,
Xi) I
I
-{- z.,{^ x-^ , . . , x^^; x^^ , ..., x„)\,
,
.
,
et ces dernières renferment toutes les forces vives qui comportent une
transformation infinitésimale en elles-mêmes. La force vive d'un solide
fixé par un point, citée par M. Civita, possède trois transformations infini-
tésimales distinctes; elle est donc réductible d'une infinité de manières à
la forme (1).
» On ne connaît jusqu'ici aucun type de ds-, dont les géodésiques pos-
sèdent une intégrale quadratique, et qui ne soit pas réductible, par un
choix convenable des variables, aux ds- indiqués par M. Painlevé. Il serait
intéressant de former des exemples de tels ds-, s'il en existe. »