comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

( Go3 )
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ks différentielles successives d' une Jonction
de plusieurs variables. Extrait d'une Lettre de M. 3Ioutard, présentée par
M. Appell.
« Les différentielles successives d'une fonction de plusieurs variables
sont des formes homogènes par rapport aux accroissements des variables.
J'appellerai 5o/«//o/i d'une différentielle tout système de fonctions des va-
riables, qui, substituées aux accroissements, l'annulent, et j'emploierai les
noms de solution simple ou multiple pour une différentielle ou un groupe
de différentielles, avec les mêmes acceptions variées que dans la théorie
des équations à plusieurs inconnues.
)) Cela posé, les (hTlérentielles jouissent des propriétés suivantes :
» I. Lorsqu il existe une solution commune à des différentielles consécutives,
en nombre égal à celui des variables, cette solution appartient à toutes les dif-
férentielles suivantes.
» n. Lorsqu'une différentielle admet une solution multiple, cette solution
appartient, avec le même degré, à toutes les suivantes.
» IIL Lorsqu'un groupe de différentielles consécutives, en nombre inférieur
à celui des variables, admet une solution commune double, celle-ci est une
solution double de tout groupe plus éloigné.
» Comme corollaire, on peut ajouter ces deux remarques, dont la dé-
monstration directe est facile :
» IV. Lorsque deux différentielles consécutives admettent un diviseur
commun (fonction des accroissements), ce facteur se retrouve dans les
suivantes.
M V. Lorsqu'une différentielle admet un facteur multiple, ce facteur entre
au même degré dans les suivantes.
» Il est d'ailleurs évident que ces deux remarques se confondent res-
pectivement avec les propositions I et II, lorsqu'on ne considère que deux
variables indépendantes.
» Les propositions que je viens d'énoncer suggèrent des problèmes de
Calcul intégral très variés, dont la résolution se rattache étroitement à la
méthode employée pour la démonslralion de ces propositions.
» J'énoncerai d'abord ceux quiconduisent à l'intégration d'une seule
équation aux dérivées partielles.
» i" Former les fonctions qui remplissent les conditions énoncées