comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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considérés comme fonctions de variables auxiliaires, il suffira pour obtenir
la solution cherchée de substituer dans le polynôme à ces auxiliaires les
valeurs qui annulent ses dérivées premières par rapport aux auxiliaires.
» L'intégration de l'équation des surfaces développables, c'est-à-dire de
l'équation qui exprime que la deuxième différentielle d'une fonction de
deux variables, a une sokition double, offre l'exemple le plus simple des
deux formes de solutions du deuxième problème.
M 3° Former les fonctions pour lesquelles un groupe de différentielles
consécutives en nombre inférieure celui des variables admet une solution
double, c'est-à-dire intégrer l'équation différentielle qui exprime cette condi-
tion.
)) On est amené, comme ci-dessus, à rechercher les conditions aux-
quelles doivent satisfaire les arbitraires du type général, pour qu'il vérifie
cette nouvelle équation. Le nombre des conditions est i, 2, 3, ..., sui-
vant que le nombre des différentielles considérées est inférieur de i, 2,
3, . .. unités au nombre des variables. N'étant plus guidé ici par l'analogie
avec le cas relativement facile de deux variables, ce n'est qu'après de longs
tâtonnements que j'ai réussi à former les équations qui les expriment. Il
ne m'est pas possible de donner une indication sommaire de la méthode
que j'ai suivie, bien qu'elle ne soit pas très compliquée et qu'elle s'ap-
plique avec simplicité au cas particulier qui constitue le deuxième pro-
blème. Je dirai seulement que, dans cette discussion, un rôle qui me paraît
essentiel appartient au déterminant des fonctions arbitraires des variables
auxiliaires, qui sont les termes indépendants des expressions des variables
primitives par l'une d'entre elles.
» Les jjrobièmcs plus compliqués, tels que ceux-ci : Former des fonc-
tions pour lesquelles un groupe de différentielles en nombre égal à celui
des variables admet plusieurs solutions communes (on pourrait dire qui
admettent plusieurs modes de générations distincts du type défini ci-des-
sus); former des fonctions pour lesquelles un groupe de différentielles, en
nombre inférieur à celui des variables, admet une solution multiple d'un
ordre supérieur à 2, ou plusieurs solutions multiples; former les fonctions
de plus de deux variables pour lesquelles deux différentielles consécutives
ont un facteur commun, ou bien pour lesquelles une différentielle admet
un facteur multiple, et d'autres encore d'un caractère plus particulière ),
(') M. Appell a bien voulu me signaler et me résumer un Travail de M. Darboux,
que je n'ai pu encore étudier, sur une question qui louche par un côté à celles dont
G. R., 1897, '" Semestre. (T. CXXIV, N« 12.) 79