comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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et nous sommes ainsi conduit à introduire dans la théorie des surfaces
deux nombres invariants yo, et p., relatifs aux connexions à une et deux
dimensions.
» Le premier résultat que j'ai obtenu est relatif au nombre />, ; on arrive
à cette conclusion, au premier abord étrange, que Von a en général
c'est-à-dire que tous les cycles linéaires d'une surface se ramènent à un
cycle nul; on peut donner de ce théorème diverses démonstrations. Ce
n'est que pour des surfaces spéciales que p,
est supérieur à Tunité, et la
question se pose de déterminer le nombre />, pour une surface donnée;
mais occupons-nous d'abord des intégrales de différentielles totales.
» 3. Nous considérons une intégrale de différentielle totale
(i) JPclx+Qdy,
où P et Q sont des fonctions rationnelles des coordonnées x, y, z d'un
point quelconque àe,/. Une telle intégrale sera dite une intégrale de pre-
mière espèce, si elle reste finie en tout point de la variété F qui lui corres-
pond dans l'espace E. On peut encore donner une autre définition équi-
valente en restant dans l'espace (.r, y, z); soit (.r„, r„, -„) un point
arbitraire de la surface, que nous pouvons toujours supposé ramené à
distance finie, et envisageons toutes les courbes passant par (a;„, y^, z^,)
situées sur la surface et susceptibles d'être représentées dans le voisinage
du point par les équations
(2) X = X„ + \{t), y = J„-|- [j.(^), z = Z^ + v{t),
11, ^., V étant holomorphes dans le voisinage de / = o et s'annulant pour
^ = o. On substitue ces valeurs dans l'expression (i) et l'on a une intégrale
devant rester finie pour f = o. Si cette condition est remplie pour tous les
points de la surface et pour toutes les courbes de la nature indiquée, l'in-
tégrale sera de première espèce.
» Si une surface a une intégrale de première espèce, celle-ci aura au
moins deux périodes; par suite
et il résulte immédiatement de là qu'il n'y a pas, en général, de telles inté-
grales. La recherche des intégrales de première espèce pour une surface
donnée j)eut se faire d'une manière régulière. On devra pouvoir trouver