comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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leur de m correspondront une infinité de valeurs de co vérifiant cette inéga-
lité. Pour qu'il n'y ait aucun point singulier sur un arc du cercle de con-
vergence, il est nécessaire que l'on puisse trouver un nombre m^ tel que,
pour toute valeur de m supérieure à m^, aucun de ces arguments ne soit
situé sur cet arc.
» Si l'on considère une suite illimitée de valeurs de m, telles que \l\ a,„ |
tende vers i, on pourra en déduire au moins un point singulier du cercle
de convergence. Pour que ce point soit unique, il faut même que les valeurs
correspondantes de w aient une limite déterminée.
» Supposons que l'on ne prenne pour m que des valeurs de la forme
?. X
(i + a')" + g, où 1' ;> ) n étant un nombre entier qui augmente indéfi-
niment, et q une quantité variable avec n, mais qui reste comprise entre
deux limites fixes. A partir d'une valeur déterminée de n, deux fonc-
tions ç„ n'auront aucun terme commun. On peut former des suites infinies
de valeurs de n, en nombre aussi grand que l'on voudra, n'ayant aucune
valeur commune; à chaque suite correspond au moins un point singulier.
Les coefficients de la série étant supposés arbitraires, et indépendants les
uns des autres, les points singuliers déduits de termes différents seront
aussi indépendants. Il y a donc, en général, une infinité de points singu-
liers sur le cercle de convergence, et ils peuvent être disposés d'une façon
arbitraire. Dans le cas le plus général, le cercle de convergence sera donc
une coupure, car autrement il faudrait qu'il y ait des arcs sur lesquels ne
se trouve aucun point singulier. »
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équation des télégraphistes.
Note de iVI. Le Roux, présentée par M. Darboux.
« Je me propose de montrer dans cette Note, par un exemple, l'utilité
pratique de la considération des intégrales principales des équations aux
dérivées partielles du second ordre.
» Proposons-nous de déterminer une intégrale de l'équation
d} u d- u
dt- ~~ HP- ~
se réduisant à uneconstantey(o) pour /• = / età une fonction donnéey"(/)
pour
/• = o.