comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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surface (S) et ne croissant pas indéfinimenl lorsque l'étendue de cette
surface décroît indéfiniment suivant une loi convenable.
» 2° Si l'on désigne par D^v une des dérivées secondes de la fonction v,
prise par rapport aux variables x, y et :;, on aura
D,c
2'
la constante B jouissant des propriétés analogues à celles dont jouit la
constante A.
» 3° L'intégrale
fff^
étendue à tout le domaine limité par la surface (S) ne dépasse jamais en
valeur absolue une constante positive C dépendant uniquement de la na-
ture de la surface (S).
» J'ai déjà eu l'occasion de démontrer le premier do ces trois théo-
rèmes dans un article rappelé plus haut, mais je me suis borné alors au
cas d'une surface convexe.
» Je me suis assuré depuis que l'on peut aisément établir chacun des
théorèmes précédents, en supposant seulement que la surface (S) admette
en chacun de ses points un plan tangent déterminé, qu'elle soit simplement
connexe et qu'elle jouisse, en outre, de la propriété suivante : prenons
pour origine des coordonnées un point quelconque O situé sur la
surface (S) et pour axe des z la normale en O, et soit
B
P-
z = F(x,y)
i'équation de la surface dans le voisinage du point O ;
nous supposerons
que la fonction F{x,y) admet les dérivées finies et déterminées jusqu'au
troisième ordre inclusivement pour toutes les valeurs de x el y satisfaisant
à l'inégalité
x--i-y-