comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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conduit aux mêmes questions (extension du théorème d'Abel, uniformité
des fonctions inverses, périodicité, . . .). Pour cela, on considère des équa-
tions dont les deuxièmes membres sont des variables indépendantes m,,
II.,, . .., Il,, et dont les premiers membres sont des sommes d'intégrales mul-
tiples portant sur des fonctions données et étendues à des champs d'inté-
gration dont la définition dépend d'une façon uniforme de n variables a,,
a., ..., «„. Ces équati&ns définissent a^, a.,, ..., a„ en fonction de «,,
w,, .... u„.
» .le me borne ici à indiquer cette extension du problème de l'inver-
sion : on en trouvera des exemples élémentaires dans une Note qui sera
insérée dans V Ar/ierican Journal. »
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur f intégration de certaines équations
différentielles par des séries. Note de M. Emile Picak».
« I^es intéressants résultats qu'a publiés récemment M. Painlevé sur
l'intégration de certaines équations différentielles par des séries me remet-
tent en mémoire divers résultats que j'ai donnés autrefois à ce sujet dans
le tome III de mon Traité d'Analyse (p. 245). Je ne crois pas inutile de
revenir sur ces méthodes, qui me paraissent susceptibles d'être beaucoup
généralisées. Il ne s'agit, dans tout ce qui va suivre, que de valeurs réelles.
On sait que pour intégrer le système
dxi dx\ dx
1^ ^ I'
x7 x;
où les X sont des polvnomes" de degré m en x^ , x.^, . . ., Xp, M. Poincaré a
indiqué la méthode suivante :
M II considère les équations
(1 = 1,2., ...,p)
p
— '
dt, i-t-Xj-t- .. . -hX
et inontre qu'on peut développer toutes les intégrales de ce système sui-
vant les puissances de
a étant une constante positive convenablement choisie.