comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

( 536 )
cire tlaiis un plan j = const. Considérons alors la courbe algébrique
f{x, y, z) = o, correspondant à la relation algébrique entre x et z.
» Il faut étudier la déformation des cycles relatifs à celte courbe quand
le paramètre y varie.
» Formons à cet effet une intégrale de seconde espèce (pour y arbi-
traire) de la courbe précédente et qui soit de la forme
W J Â
'
où F est rationnelle en a-, y et z. Les périodes de l'intégrale (I) sont des
fonctions de y,
sont des polynômes en y. Soient
satisfaisant à une équation linéaire dont les coefficients
W , COj ip
un système de périodes de l'intégrale (I), en désignant par p
le genre de
/{x, y, z) = o. Quand j décrira tous les chemins possibles dans son plan
en revenant à son point de départ, les co se transforment en Î2. el l'on a
(S) o, = m', to, + m'^o^. -l-... + m',^,aj.p (i =1,2, ..., 2p),
les m étant des entiers, et ces substitutions (S) correspondront au groupe
de l'équation linéaire. Les équations (S) peuvent se lire sous forme géo-
métrique; elles indiquent, si C,, C. C^p indiquent les cycles corres-
pondant aux périodes co,, u., . . ., o).^, que le cycle C, s'est déformé avec
la variation de y et s'est transformé en une somme de m\ fois le cycle C,
plus mi fois le cycle Co. plus, etc. Si donc maintenant on envisage une inté-
grale de l'espace à quatre dimensions comme on en considère dans l'Ana-
lysis situs, et que P, désigne sa période relativement au cycle C,, on aura
(n) Vi=m\V,^m'.^V,+...+ m'^^,\\ (i = i, 2, . . .,2p),
et à chaque substitution du groupe correspondront 2/? équations de cette
forme. Il arrivera en général que l'ensemble des équations (n) donnera pour
tous les P des valeurs nulles, et nous retombons sur ce fait que tous les
cycles se réduisent à zéro, c'est-à-dire />, = i. Mais il pourra arriver que
les équations (II) soient vérifiées autrement qu'en annulant tous les P.
Supposons que de l'ensemble de ces équations on puisse tirer 2p — r des
quantités P en fonction des r autres restant arbitraires; il est clair que les
périodes P pourront certainement se réduire à r d'entre elles, et, par suite,
le nombre des cycles linéaires distincts de la surface sera au plus égal à r.