comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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» Je me propose de montrer comment ces congruences particulières se
rattachent aux systèmes cycliques de Ribaucour.
» J 'appelle /JO/>i/i correspondants des deux congruences, des points qui
sont placés sur des droites correspondantes, à la même distance des
foyers.
)) Soit D une droite de la première congruence (D); soient j, ix^, ix-
des quantités proportionnelles aux cosinus directeurs de D; «Xi, iXj les
coordonnées du point M où D coupe le plan des j^. Les coordonnées d'un
point quelconque de D seront données par les formules
X — ^, J = «X,+ pKT.,, Z = iX^ + pJX5.
» Soient maintenant D' la correspondante de D; x^, x.,, x.^ des quan-
tités proportionnelles aux cosinus directeurs de D', choisies de telle sorte
que
x\-\-x\+ x\ 4- x\ + x\
» Soient, de plus. M' le correspondant de M; X,, X,, X;j ses coordon-
nées. Les coordonnées d'un point quelconque de D' sont
^'=X, + pa-,, /=X„+pa.\, s'=X3 + p.r;,.
)) Les points correspondants sur D et D' sont ceux pour lesquels p a la
même valeur; si p, et p^ sont les valeurs de p qui correspondent aux foyers
des deux congruences, la deuxième condition donne
)) On
au ^
' Ou
I / -\
?, = ( 1 , 2, . . . , :j).
Oi' ^ ai' j
en conclut que les cinq quantités a',, x.,, ^3, ^1, ^'5 sont solutions
d'une équation de la forme
du di' du ^ d\'
» Donc la sphère qui a pour coordonnées x,, x.^, x^, Xj,, x^, i est telle
que les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes de son
enveloppe. Si N est le centre de cette sphère, O un point fixe, la droite D'
est parallèle à ON. Cette propriété est une propriété caractéristique de la
représentation sphérique des congruences qui ont une associée.
» Le point de l'espace à cinq dimensions qui a pour coordonnées
(X,,X2,X3,X^,X5) décrit une surface qui a des hgnes de courbure. On en