comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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d'une condition d'inégalité, nous devons ajouter celui-ci, non moins im-
portant : cela n'est possible que si les données elles-mêmes vérifient des condi-
tions du même genre.
» Or, ces deux remarques paraissent constituer une loi très générale et
dont on connaît déjà de nombreux exemples, sans cependant les avoir
reliés entre eux. Par exemple, trouver une fonction de variable réelle ad-
mettant des dérivées données pour s = o est un problème indéterminé; on
peut le déterminer en ajoutant que la fonction est analytique et régulière
dans le voisinage de s = o, mais seulement dans le cas où les valeurs don-
nées des dérivées rendent convergente la série de Taylor.
» J'indiquerai aussi le problème des moments, traité par Stieltjes dans
son beau Mémoire sur les fractions continues (^Annales de Toulouse, 1894);
ici l'inégalité qui détermine, dans certains cas, le problème, est l'hypothèse
que les masses sont positives. Ce problème de Stieltjes est d'ailleurs rendu
particulièrement intéressant par le fait qu'il permet de jeter une lumière
nouvelle sur le rôle de certaines séries divergentes : c'est là un point sur
lequel j'aurai sans doute l'occasion de revenir.
» Enfin, un autre exemple bien connu nous est donné par les séries de
Fourier : la connaissance de leurs coefficients permet de déterminer la
fonction, si l'on sait que celle-ci est développable, à condition, bien entendu,
que les coefficients rendent la série convergente. Le cas où elle serait diver-
gente, soit en certains points, soit en tous les points, n'a pas été, je crois,
examiné jusqu'ici.
» Je vais indiquer brièvement, en choisissant, pour fixer les idées, ce
dernier exemple, la relation qu'il y a entre ces remarques et les propriétés
des fonctions entières. Posons
f(^z)^ I
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