comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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de h congraence x' — \^^n (mnd p), celles que, par extension, Gauss a
appelées racines primitives de cette congruence, et dont le nombre
est ?(e).
» Par exemple, si/> = \^ ,n — 5, d'où ? = 8. on trouve que, parmi les
huit i-ésidus, quatre sont générateurs, savoir ± 3, ± i4; chacunde ceux-ci
provient de quatre racines primitives de 4i 6t d'une racine secondaire
appartenant à l'exposant 8.
» Tels sont, que je sache, les résultats connus jusqu'à présent. Mais, en
emplovant le même module \\, si l'on prend /i = 8 et ? =: 5, les choses
changent de face. Les cinq résidus difîérents sont alors i, lo, i6, ]8 et 37,
dont les quatre derniers sont générateurs. Chacun de ceux-ci provient, in-
distinctement, de quatre racines primitives de /\i et de quatre autres ra-
cines appartenant à fZ/Verf multiples de e. Pour ne citer qu'un de ces résidus,
10 provient : des quatre racines primitives 6, i3, 28, 35; de la racine 18,
qui appartient à e = 5; de 23, qui appartient à 2e = 10; enfin de 2 et 39,
qui appartiennent à 4^ = 20.
» Desiderata. — Cette intervention de multiples, intermédiaires entre e
et ne, de e dans les caractéristiques de quelques-unes des racines généra-
trices et les conditions où elle s'exerce, n'ont été, je crois, ni expliquées,
ni même signalées. Elles forment le sujet de mes recherches et sont une
conséquence du théorème suivant, où n est essentiellement un diviseur
de/7 — I.
» TI. Théorème. — Lorsqu'un résidu R, de puissance n"'""^, selon le module
premier p, est générateur, donc appartient à l'exposant e = , les n ra-
cines r, d'oie il provient indistinctement, appartiennent à quelque multiple ke
de e, le facteur entier k ayant toujours, pour quelques-unes au moins d'entre
elles, la valeur n, et étant pour celles qui restent, s'il y en a, un diviseur de n
qui, selon le cas, n'est pas le même pour toutes ces dernières.
» Je vais : 1° Prouver que k est toujours égal à n pour quelques-unes au
moins des racines r; 2° Préciser le cas où il l'est pour toutes; 3" Définir ceux
où e n'intervient qu'avec le multiplicateur X- ^ i ;
'j" Enfin, ceux où k prend
plusieurs valeurs autres que n ou r. De la sorte, seront éclaircis tous les
points de cette question, très confuse au premier aspect. Avant tout, prou-
vons que la valeur k = n intervient, au moins partiellement, dans tous les
cas; ce qu'on sait déjà.
» Si ^ = n, la racine r appartient à l'exposant ne; c'est une racine pri-
mitive de p. Elle fait nécessairement partie de celles d'où provient l'un
quelconque R des générateurs; car, tous ses résidus étant différents, les ré-