comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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d'idées où je me place ('), telles que je viens de les présenter dans mon
COIII'S.
» 1. La première question qui se présente dans la théorie des surfaces
algébriques est relative à la réduction des singularités. Elle a fait autrefois
l'objet des travaux de M. Nœther et de M. del Pezzo, et M. Segre vient d'y
consacrer récemment un intéressant Mémoire. J'ai tout d'abord cherché à
présenter d'une manière complètement rigoureuse les théorèmes qui jouent
le rôle essentiel dans cette réduction. D'après une première proposition,
on peut faire correspondre point par point à toute surface algébrique
ayant des singularités quelconques, une autre surface n'ayant que les sin-
gularités ordinaires. Celles-ci se composent de courbes doubles pouvant
avoir des points. triples à tangentes distinctes qui sont en même temps des
points triples pour la surface.
» Un second théorème est relatif à la représentation d'une surface dans
un espace à dimensions complexes, dont le nombre est supérieur à trois.
Il est possible de faire correspondre uniformément la surface y^ à une sur-
face F d'un espace E à cinq dimensions, cette sur/ace F n'ayant aucun point
multiple. Cette seconde proposition est la plus importante, la première
s'en déduisant d'ailleurs aisément.
» 2. Si l'on ramène à la surface d'une sphère chacune des dimensions
complexes de l'espace E (comme dans la théorie des fonctions d'une
variable complexe), on peut regarder la surface F comme étant un continuum/erme
à quatre dimensions réelles ne se coupant pas lui-même. Or on
sait, d'après Riemann et Betti, qu'il y a lieu, dans une variété à quatre
dimensions, de considérer trois ordres de connexion
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relatifs respectivement à une, deux et trois dimensions. La variété ici
considérée étant fermée, on aura
(') Au point de vue de l'Algèbre et de la Géométrie analytique, la théorie des sur-
faces algébriques a fait, dans ces dernières années, l'objet de travaux considérables de
la part de deux jeunes géomètres italiens extrêmement distingués, MiM. Castelnuovo
et Enriques. On trouvera, dans le tome XL VIII des Mathemalische Annalen (1896),
un Mémoire dans lequel ils résument les principaux résultats de leurs recherches.
C. R., iSy7, I" Semestre. (T. CWIV. N° 11.) 70