comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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Une fois intégrée l'équation (E'), leur détermination dépend d'une équa-
tion (E) à points critiques et essentiels fixes
(4)
» Etudions maintenant les intégrales premières particularisées A&(^i^; soit
P(s,r.> •••.j«; ^.«^.' •,x„,)=z o,
où P est un polynôme de degré v en z, y^, • •. /«. dont un coefficient est
égal à I . Lors même qu'on se trouve dans le premier cas, ces intégrales (4 )
peuvent dépendre de fonctions arbitraires. Mais leurs singularités satis-
font à certaines conditions qui jouent un rôle très important dans la re-
cherche des intégrales premières de la Dynamique. Convenons d'ap-
peler sur/ace intégrale de l'espace (x, œ,,
tion K (a*, .r, , . . . . x,„) = o, telle que les égalités
„ dK dH d.r, dK dx,„
.
. . ., x,„) = o, toute rela-
soient vérifiées identiquement par toute solution de (i) qui les vérifie pour
une valeur x,^ de x. Soit maintenant H(a7,ir,, ..., a7„,) = o une relation
analytique qui définit une singularité (isolée) de P, singularité distincte de
celle des X, Y. Deux cas sont possibles :
» 1° Si cette singularité est transcendante, H := o est nécessairement w«e
surface intégrale; de plus, la singularité ne saurait être essentielle.
» 2° Si la singularité est algébrique ( '
), ou bien H = o est une surface inté-
grale, ou bien la condition suivante est remplie : remplaçons, dans H, les
variables a?, , . . ., x„, en fonction de x et des valeurs initiales aî", a;", . . .
^m' J°' • • • '^'^^^ ' Jm! H, (a;) la fonction de a; ainsi obtenue; éliminons a; entre
H, — o, '^-~ — o, et soit S (a;", x\, ... , a:," , y% .
. ., j," ) = o le résultant;
la relation S{x. x,, . .
. , x„^, y, }'„,) = o doit être une conséquence
deP = o.
M Enfin, si la singularité H ^ o est singularité pour toutes les branches
de P, elle est nécessairement algébrique et vérifie la dernière condition
énoncée.
» Considérons notamment un système ( i ) de la forme
^^^ rfT-^'' ^i - Q(^-;, ...,