comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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importants travaux. Dans une lettre adressée à M. Schwarz, Weierstrass
expose à quel point de vue entièrement nouveau il s'est placé dans ces pro-
fondes et difficiles questions. L'analyse qu'il communique à notre éminent
Correspondant est un chef-d'œuvre d'invention. Elle jelte jusque dans son
origine élémentaire une vive lumière sur la question, en représentant les va-
riables qui .satisfont à une équation algébrique par un nombre fini d'expres-
sions qui contiennent une indéterminée auxili;iire et se déduisent toutes
d'une seule d'entre elles. Elle conduit à la notion du genre par un chemin
bien différent de celui du premier inventeur, en emplovant seulement les
considération.s algébriques, en excluant absolument les considérations du
Calcul intégral; elle donne un exemple de plus de cette évolution des
théories mathématiques qui se perfectionnent en multipliant les voies
d'accès aux vérités nouvelles, et, par là, rendent de plus en plus abordables
les résultats cachés qu'on ne pouvait atteindre qu'au prix de grands efforts.
» Cette circonstance se remarque aussi dans la théorie des intégrales
eulériennes dont Weierstrass a, le premier, fait connaître la véritable na-
ture, qui était restée inconnue après les grands travaux de Legendre, en
démontrant que l'intégrale de seconde espèce est l'inverse d'une fonction
holomorphe. De nombreuses méthodes permettent maintenant d'établir
cette importante proposition dont la découverte a été comme le prélude
des recherches de notre Confrère sur la théorie générale des fonctions
uniformes.
» Mais aucune théorie n'a présenté une succession de points de vue dif-
férents et de méthodes variées, qui donne l'idée de la richesse en Analyse,
comme la théorie des fonctions elliptiques.
» En premier lieu, les méthodes d'Abel et de Jacobi, puis, sous des
formes variées, les procédés oîi les fonctions 6 servent de point de départ,
enfin, la théorie des fonctions doublement périodiques. Ce n'est pas encore
à un pareil degré de développement que l'Analyse est parvenue dans cet
ordre de questions aussi difficiles qu'importantes, qui se lient étroitement
aux fonctions elliptiques, et que Jacobi a ouvert eu posant le problème de
l'inversion des intégrales hvperelliptiques. Gôpel et Rosenhain ont donné
de ce problème une solution admirée des analystes dans le cas le plus
simple des inlégrales de première classe. Elle est fondée sur la considéra-
tion de fonctions de deux variables analogues aux fonctions 0; mais on
rencontre dans cette voie, à partir des intégrales de seconde classe, des
difficultés insurmontables, qui montrent que la même méthode ne leur