comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

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a un certain nombre de racines. Traçons dans le plan de la variable x nn
contour fermé C contenant à son intérieur un certain nombre de racines
de l'équation précédente. Quand y varie d'une manière continue, les x
varient d'une manière continue; déformons en même temps d'une manière
continué le contour C de manière que les racines x^, x.,, ..., x^ restent
toujours à son intérieur et que les racines de l'équation A, primitivement
extérieures à C, lui restent toujours extérieures. Supposons que la va-
riable y décrive alors un contour fermé T, tel que, quand elle revient au
point de départ, les racines x,, x.,, . . ., Xr^ reprennent la même valeur ou
soient seulement permutées entre elles. Dnns ces conditions, l'ensemble
des courbes C correspondant aux divers points de T peut être regardé
comme formant un continuum fermé à deux dimensions dans l'espace à
quatre dimensions. La fonction rationnelle
P(^-...r)
A(a.-,j)
reste finie pour tous les points de cette surface, et la valeur correspon-
dante de l'intégrale double est, en général, différente de zéro.
)) 2. Le cas le plus simple est celui où le contour C ne contient qu'une
seule racine x, à son intérieur; le contour T du plan des y doit être alors
un cycle pour la racine j7, de l'équation A(a7, ,r) = o, de telle sorte que a;,
revienne à sa valeur initiale quand y décrit F.
» Si l'on calcule la valeur de l'intégrale double, en laissant d'abord y
constant, on a en premier lieu
et l'intégrale cbercbée est égale à
-X
Elle est donc égale à une période d'une intégrale abélienne relative à la courbe
A = o, ou à une de ses courbes composantes, si A est réductible.
» Soient maintenant d'une manière générale a;,, a^o, .. , .t^ un ensemble
de racines situées dans C et se permutant les unes dans les autres quand y
décrit r. Nous pouvons substituer à C un certain nombre de courbes fer-
mées, de telle sorte que chacune d'elles ne contienne que des racines se