comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des ...

sidus de R', R-, R" .
(
33b )
. .. R*" le sont aussi, [-misqu'ils ne sont autres que ceux-
là, pris de n en n. Donc, R appartient à e; il est générateur.
» m. Cela posé, les questions que je viens d'énoncer se rapportent aux
quatre cas suivants :
Premier cas : Tous les facteurs premiers de n se trouvent dans e, avec des
exposants égaux ou différents, e possédant, ou non, d'autres facteurs pre-
jniers à n.
» Le symbole o (M) désignant, selon l'usage, combien il y
a de nombres
non supérieurs et premiers à M, le nombre des racines primitives de p est
(p
(n.e), et le nombre des racines, dites primitives, de e (pour le module/?),
donc aussi celui des résidus générateurs pour la puissance n'*""", est cp(6).
Il s'ensuit, d'après (I, i"), que les racines d'où proviennent les résidus géné-
rateurs sont, exclusivement, toutes les racines primitives de p,
fois qu'on a l'égalité
(i)
n.o(e) = o(n.e),
toutes les
car elles sont en nombre suffisant, et non surabondantes, parce qu'on ne
peut jamais avoir o («.e) > n.o (e). H s'agit donc de savoir dans quelles
conditions l'égalité (i) est vérifiée.
» Or, elle se vérifie, comme je vais le démontrer, chaque fois que tous
les facteurs premiers de n se retrouvent, soit avec les mêmes exposants,
soit avec des exposants différents, parmi les facteurs de e; circonstances
qui peuvent, par conséquent, se présenter plusieurs fois, sous des formes
diverses, pour un même module/), selon le mode de partition des facteurs
(Je jD — I = n.e entre les deux nombres n et e. Par exemple, soit/? = 97;
comme 96 = 2^3, on a les diverses partitions : n = 2% e = 2.3; /i — 2%
e— 2^.3; « = 2-, e = 2'. 3; n — 2, e — 2\3.
» Démonstration. — Soit n.e = a\b^.c^.d^'. .. ; a, h, c, d, ... étant des
facteurs premiers ; et « — a"" MKc'^ .d" . . , avec e — a"' .1)^' .c^' .d^'
.
. . ; a, ^,
y, . . , a', 8', y', . . . étant des exposants dont aucun n'est nul, et qui sa-
.
tisfont aux égalités
(a") a + 7/ = A, fi -1- ?' = B, -4- y y' = C,
Je dis que l'égalité (i) est vérifiée.
» En effet, le premier membre est alors
a^.b^.c\...o{a'^'.b'^'.c-^'...),
et il a pour valeur, comme on sait (parce que a, b,c, . . . sont des nombres