Optique Géométrique - UVT e-doc - Université Virtuelle de Tunis

Exercices et problèmes
EP.4.3. : Stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique
Soit une boule sphérique de centre, de rayon R et d’indice n plongée dans un
milieu d’indice n’. On considère un diamètre SS’ de la boule et on se propose de
montrer qu’il existe sur ce diamètre un couple de points (A,A’) conjugués pour
lequel le chemin optique[AA’] qui les sépare est nul quel que soit le point I de
réfraction sur la sphère.
A’
S’ u C
�
A
- 113 -
n n’
u' �
I
1. Soient u � et u' � les vecteurs unitaires respectifs pour les rayons incident et
réfracté. Donner l’expression du chemin optique [AA’] et en déduire une
relation entre AI et IA ' .
2. En prenant comme point de réfraction le point S trouver une relation
entre SA et SA ' .
3. En considérant S’ comme point de réfraction, trouver une relation entre
S 'A
et S 'A'
.
4. Déduire des résultats précédents la position des points A et A’ vérifiant le
stigmatisme parfait.
5. Généraliser ce résultat.
Solution
� �
1. L = n AI . u + n’ IA' . u'
= 0 . Par conséquent , on a n AI + n’ IA ' = 0
pour tous les points I sur la sphère.
2. En prenant I = S, on trouve la relation n SA = n’ SA ' .
3. En prenant I = S’, on trouve la relation nS 'A
= - n’ S ' A'
.
SA S'A
n
4. On a donc les relations suivantes : = − =
SA'
S'A'
n'
SC + CA S'C
+ CA n
et par suite
= −
= .
SC + CA'
S'C
+ CA'
n'
S
∆