Optique Géométrique - UVT e-doc - Université Virtuelle de Tunis

Chapitre 3
1. En considérant que l’atmosphère est constituée d’une succession de
milieux homogènes d’indice variant d’un milieu à l’autre, montrer que
n(z) sin i(z) = constante.
2. Sachant que l’indice de l’air est lié à la masse volumique ρ par la relation
de Gladstone n - 1 = k ρ où k est une constante positive et que l’air peut être
considéré comme un gaz parfait , donner le sens de variation de l’indice en
fonction de z.
3. Donner la marche d’un rayon lumineux provenant du ciel. Expliquer le
phénomène des mirages.
4. On se propose de trouver la loi de variation n(z) de l’indice en fonction de
l’altitude z. Considérons une source lumineuse S située à l’altitude zS émettant
un rayon lumineux vers les x positifs perpendiculairement au plan yOz et
suivant une trajectoire z = f(x) comme le montre la figure.
z
dz
zS
Montrer que pour une position élémentaire dl du rayon lumineux, de
composantes dx sur Ox et dz sur Oz, on a la relation :
n(
z)
n(zS) =
1/
2
⎡
2
⎛ dz ⎞ ⎤
⎢1
+ ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ dx ⎠ ⎥⎦
5. Au voisinage du sol, l’indice de l’air varie suivant la loi n(z) = n0 + α z où
n0 est l’indice au niveau du sol et α une constante positive. Dans la suite du
problème, on s’intéressera aux faibles altitudes z, inférieures à 10 cm, et on
prendra pour valeurs numériques : n0 = 1,000250, α = 4.10 -4 m -1 .
Au vu des valeurs numériques données ci-dessus, justifier tout d’abord que
dz
la valeur numérique du rapport est très inférieure à 1 et donner la nouvelle
dx
relation liant
n( zS
)
n(
z)
dz
et .
dx
6. En déduire que l’équation de la trajectoire du rayon lumineux dans la
zone à gradient d’indice est assimilable à un arc de parabole d’équation :
α
2
z = zS + x
2n
0
i
dx
- 90 -
dl
x