Optique Géométrique - UVT e-doc - Université Virtuelle de Tunis

Chapitre 2
de x, la perturbation se trouve identique à elle-même à l'instant t, au point M,
tel que :
F(x,t) = f(t - v x ) où v est la vitesse de propagation de la perturbation.
Si la perturbation se propageait dans la direction des valeurs décroissantes
de x, on aurait trouvé :
F(x,t) = g(t + v x )
f et g sont des fonctions arbitraires respectivement de (t - v x ) et (t + v x ).
On démontre que la combinaison linéaire F(x,t) = f(t - v x ) + g(t + v x ) est
la solution générale d'une équation aux dérivées partielles de la forme :
2 2F
2 v2 t2
1
∂ F ∂
− = 0
∂x
∂
Cette équation est appelée "équation d’onde" ou "équation d’Alembert",
sa solution la plus générale représente donc la somme de deux ondes
progressives se propageant en sens inverse sur x 'x
.
On remarquera que les fonctions f ou g , à un instant donné t, sont
constantes dans tous les plans x = constante. Ces fonctions décrivent donc
"des ondes planes ".
2.3.1.2 Onde plane progressive sinusoïdale ou monochromatique
Un cas spécialement intéressant est celui où la fonction f ( ou g ) est une
fonction sinusoïdale de x et de t, de pulsation ω.
Par un choix convenable de l'origine des temps on peut écrire :
⎛ x ⎞
F(x,t) = A cos ω⎜
t − ⎟ où A est une constante.
⎝ v ⎠
⎛ x ⎞
On appelle " phase de l'onde " la quantité : Φ (x,t) = ω⎜
t − ⎟
⎝ v ⎠
La fonction F(x,t) présente une double périodicité :
• dans le temps : la période temporelle T représente la durée au bout de
laquelle l'onde se retrouve identique à elle-même dans le même plan
d’abscisse x
F(x,t) = F(x,t + nT).
2 π
Cette période est égale à : T =
ω
La pulsation ω représente donc le nombre de périodes T dans l'intervalle
de temps 2π secondes.
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