Optique Géométrique - UVT e-doc - Université Virtuelle de Tunis

Solution
Chapitre 7
1. M’ est l’image de M par le dioptre sphérique D liquide-air de sommet B.
On a donc : n 1 n − 1
− =
CM'
CM CB
D’où :
x' 1 n 1
x R
n −
−
n R x
= et x’ =
.
R + ( n −1)
x
n R x
2. MM ' = MC + CM'
= x’ - x =
− x .
R + ( n −1)
x
Pour que la distance MM ' passe par un extremum, il faut que sa dérivée par
rapport à x s’annule :
d(
MM')
n
0
R
2
= 1
dx
R + ( n −1)
x
2
= ce qui entraîne [ ]
soit encore R + ( n – 1 ) x = ± n R
Les solutions de cette équation sont :
( n −1)
R
n + 1 R
x0 = et x1 = -
n−1
n−1
La solution x1 n’est pas acceptable car le point serait dans ce cas à l’extérieur de
la boule avec x1= - 6,47 R . La solution x0 = 0,46 R est acceptable.
En effectuant le calcul de la dérivée aux points x = 0 et x = R, on trouve que
( MM')
( )
> 0 pour x = 0 et
-230-
( )
d
dx
d MM'
dx
< 0 pour x = R. On vérifie bien qu’il s’agit d’un
maximum en x = x0 .
La position de M qui correspond donc au maximum est donnée par :
x0 = 0,115 m. c’est à dire que M se situe entre C et B.
2
On calcule la distance M 0M' 0 = 3R
( n − 1)
= 0,018 m = 1,8 cm.
3. Le grandissement est donné par la relation γ = CM ' = x ' n R
=
CM x R + ( n−1)
x
Lorsque M est en A : x = -R et
n
γ = = 2
2 − n
Lorsque M est en M0 : x = x0 et γ = n = 1,15
Lorsque M est en B : x = R et γ = 1.