Optique Géométrique - UVT e-doc - Université Virtuelle de Tunis

Chapitre 3
EP.3.6. : Principe de Fermat et lois de la réflexion
Soient deux points A(0,0,a) et B(b,0,c) situés d'un même coté d'un miroir
placé dans le plan z = 0 et v la vitesse de propagation de la lumière dans le
milieu.
A B
Miroir
1- Calculer le temps t mis par la lumière pour parcourir le chemin AIB (I
étant un point de la surface du miroir).
2- Evaluer la variation dt correspondant à un petit déplacement de I sur la
surface du miroir.
3- Déduire du principe de Fermat la relation liant l'angle d'incidence i à
l'angle de réflexion i' et montrer que le rayon réfléchi appartient au plan
d'incidence.
Solution
1. Les coordonnées du point I sont (x,y,0). On a donc :
AI =
2
x
2 2
+ y + a
2
2
IB = x + y + c
Le temps mis par la lumière pour parcourir le chemin AIB est :
AI IB 1 ⎛
t = + = ⎜
v v v ⎝
2 2 2
x + y + a +
2 2 2 ⎞
( x − b)
+ y + c ⎟
⎠
∂t
∂t
2. On a : dt = dx + dy
∂x
∂y
soit :
dt
=
1 x
x b
dx
v 2 2 2
2 2 2
x y a ( x b)
y c ⎟ ⎟⎟
⎛
⎞
⎜
−
⎜
+
⎜
⎝ + + − + + ⎠
1
v
y
2 2 2
x y a
y
dy
2 2 2
( x b)
y c ⎟ ⎟⎟
+
⎛
⎜
⎜
⎝ + +
+
⎞
− + + ⎠
L =
ct =
c
v
AI + IB ⇒ dL =
2
( ) cdt
I
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