Optique Géométrique - UVT e-doc - Université Virtuelle de Tunis

Exercices et problèmes
1.4. Calculer D m N et i m N
pour N=1 sachant que n=1,33.
2.1. On se limite au cas N = 1 (une seule réflexion interne) et on admet que
les gouttes d’eau sont uniformément réparties dans l’espace. Les rayons ayant
une incidence iN voisine de la valeur i m N
subissent une déviation pratiquement
égale à D m N
. En conséquence, dans la direction de cet extremum, il y aura
accumulation de lumière.
En déduire la répartition géométrique des gouttes qui apparaissent
brillantes à un observateur.
2.2. Sachant que l’indice n de la goutte d’eau est une fonction décroissante
de la longueur d’onde, calculer la dérivée de Dm par rapport à n et en déduire
∆Dm la variation de la déviation minimale entre les rayons bleu et rouge.
On donne : n ( λBleu = 0. 4 µm) = 1,335 et n ( λRouge = 0. 8 µm) = 1,325
2.3. Expliquer le phénomène de l’arc-en-ciel.
Solution
1.1. Pour N=1, D1 = 2 i + π – 4 r avec sin i = n sin r.
1.2. Pour N quelconque , on a
DN = 2 (i - r) + N(π – 2 r) = 2 i + N π - 2( N+1) r
dDN
1.3.
di
= 2 − 2(
N + 1)
dr
di
or cos i di = n cos r dr.
On a donc
dr
=
di
1
n
cos i
et par suite
cos r
dDN
di
= 2 −
2(
N + 1)
n
cos i
.
cos r
L’extremum vérifie donc la relation n cos rm= (1+N) cos im . Il s’ensuit que l’on a
2
cos im
=
2
n − 1
2 ( N+
1)
−1
.Pour un N donné supérieur ou égal à 1, l’extremum est
unique et on peut montrer qu’il s’agit d’un minimum en montrant que la dérivée
seconde de DN est positive pour i = im.
1.4. Pour N=1, cos im =
n
3
1
2 −
.
On trouve im = 59,6° , rm = 40,4° , Dm = 137,6°.
2.1. Les rayons correspondant à un même angle de Déviation D font le même
angle α = π – D par rapport à la direction des rayons provenant du Soleil. Ils se
situent donc sur un cône d’angle au sommet α et ayant comme axe de révolution la
droite parallèle aux rayons provenant du Soleil et passant par l’observateur O. Ainsi,
les rayons correspondant à une même déviation D se répartissent sur un arc de
cercle.
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