Optique Géométrique - UVT e-doc - Université Virtuelle de Tunis

Chapitre 3
1- Appliquer le principe de Fermat pour déterminer, dans le plan de
séparation xOy, la position du point I où le trajet lumineux passe du milieu (1)
au milieu (2). Conclure.
2- Appliquer ce résultat au problème suivant : une personne se promène sur
une plage à la limite du sable et de l'eau. Arrivée au point O de sa promenade,
elle aperçoit un baigneur en danger en un point B de l'eau et veut le secourir le
plus rapidement possible.
En supposant qu’elle court trois fois plus vite qu'elle nage, déterminer en
quel point de la grève elle devra se mettre à l'eau.
Solution
z
a A
•
y
O
y
x
I
•
-b
d
• B
x
- 78 -
a A
•
1. Soient (x,y,0) les coordonnées du point I et t le temps mis pour aller de A à B.
On a :
AI IB 1 2 2 2 1
2 2 2
t = + = x + y + a + ( d − x)
+ y + b
v1
v2
v1
v2
Le chemin optique entre les points A et B s’écrit :
-b
z
O
i 1
I
•
x
L = L(
x,
y)
= ct
c
=
v1
2 2 2 c
x + y + a +
v2
2 2
( d − x)
+ y + b
D'après le principe de Fermat, on a :
∂L
∂L
⎪⎧
∂L
∂L
⎪⎫
dL = cdt = dx + dy = 0 ⇔ ⎨ = 0 et = 0⎬
∂x
∂y
⎪⎩ ∂x
∂y
⎪⎭
et par suite :
⎧ ∂L
⎪ =
∂x
⎪
⎨
⎪∂L
⎪ =
⎪ ∂y
⎩
c
v
1
c
v
1
x
x
2
2
x
+ y
y
+ y
2
2
+ a
+ a
2
2
−
+
c
v
2
c
v
2
( d − x)
( d − x)
i 2
d − x
2
2
+ y
y
+ y
2
d
• B
2
+ b
+ b
2
2
x
= 0
= 0
2
( 1)
( 2)