Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Chapitre 4Modèle Cristallin du Vertex C 3Depuis la découverte de la théorie des cordes topologiques, plusieurs voies ont étéexplorées pour calculer leurs amplitudes. La méthode du vertex topologique, qui sera traitéedans les chapitres suivants et qui consiste à évaluer l’expression de ces amplitudes surles variétés de CY3 toriques, est sans doute une méthode sophostiquée vue son analogieformelle avec la méthode des graphes de Feynmann des théories quantiques des champs.Dans ce chapitre, qui peut être vu comme étude préliminaire au vertex topologique, nousétudions la fonction de partition de la corde topologique type A pour le cas d’une variété deCY3 simple à savoir l’espace complexe C 3 . Ainsi, nous montrerons à travers cette étude quela fonction de partition de la corde toplogique du modèle A sur C 3 est fortement liée à unmodèle classique de la mécanique statistique [11], [149, 150] à savoir le cristal fondu et d’oùle nom de variété de CY cristalline [91], [63]-[68]. Les premiers calculs exacts de ce modèledans le cadre de la théorie des cordes topologiques sont dus à Okounkov, Reshetikhin etVafa [91, 71, 151] qui proposèrent une dualité entre les cordes topologiques du modèle Asur une variété de CY3 et le cristal fondu sur lequel on impose des contraintes aux bords.L’origine de cette équivalence découle de l’identification de la constante de couplage de lacorde topologique g S avec l’inverse de la température absolue T,g S = 1 T . (3.1)Avant d’étudier cette dualité, rappelons qu’un cristal à géométrie tri-dimensionnelle peutêtre naïvement imaginé comme fait de cubes dont les atomes sont répartis de façon régulièredans l’espace 3D. Les excitations correspondent à la suppression des cubes élémentairesdu cristal et par suite nous permettent d’associer à chaque atome A un poids q donné par,q = e µ/T , (3.2)105