Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Fonctions de Schur et MacMahonFig. 3-12 – Diagramme de Young shifté à partir d’une partition 2dL’analogue de la formule (3.1) est due à I.G.Macdonald [198]. Pour les partitions strictesλ est définit comme suit|λ|!∏h(i, j)i,j(3.2)avec h(i, j) la formule de hook pour la partition double ν. Une partition plane stricte π deforme λ est une suite (..., .λ −1 , λ 0 , λ 1 , ...) qui vérifie la propriété suivante :· · · ⊂ λ −1 ⊂ λ 0 ⊃ λ 1 ⊃ · · ·où λ 0 correspond à une partition ordinaire sur la diagonale principale.Exemple : Soit la partition plane ˆπ = {(3) , (4, 3) , (5, 3) , (3, 2) , (2) (1)}. Chaque partitiondiagonale π (x) est une partition stricte (2d). Le poids d’une partition plane stricte estnoté comme suit :|π| = ∑ π (x)x∈λavec la condition que π 1 (x) > π 2 (x) .8.2 Fonctions de SchurLes fonctions de Schur jouent un rôle trés important dans ce qui va suivre. Nous endonnons ici diverses définitions ainsi que certaines propriétés qui les concernent.A toute représentation du groupe symétrique est associée une fonction symétrique. C’estainsi que les fonctions de Schur S λ sont associées aux représentations irréductibles. Lestableaux de Young fournissent un moyen élégant pour exprimer ces polynômes. Par ailleurs,il existe une règle purement combinatoire qui fait appel aux tableaux de Young et quipermet de décomposer le produit de deux polynômes de Schur. Ceci implique en particulierque les tableaux permettent de décomposer le produit tensoriel de deux représentationsirréductibles de GL(E) en somme directe de représentations irréductibles.255