Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

5.4 Vertex raffiné et homologie des entrelacs6.4.2 Entrelac de HopfConsidérons maintenant l’entrelacs de Hopf coloré par la représentation suivante :(R 1 , R 2 ) = (□, □). Dans ce cas, en utilisant les équations (3.40) et (3.39), nous obtenonsP □,□ (Q 1 , Q 2 , a) = Q −1 √ qtqt∑ν (−Q)|ν| t ||ν||22 t ||νt || 22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(t, q) s □ (t −ρ q −νt ) 2∏ ∞i,j=1 (1 − Q qi− 1 2 t j− 1 2 )= a 2 q(1 − t) − Q t 12 1 + q − t + qt+ Q 2 t 2 q (1 − t) 2 q1 − t + tq(1 − t) 2= a 2 q 1 + q − t + qt −4 1 − t + qt− a−2 + a (3.42)(1 − t)2(1 − t) 2 (1 − t) 2= a −2 1 − Q2 1 + Q 4 1 Q 2 2(1 − Q 2 1) 2 − a 2 1 + Q2 1 Q 2 2 − Q 2 1 + Q 4 1 Q 2 2(1 − Q 2 1) 2 + a 4 Q 2 1 Q 2 2(1 − Q 2 1) 2Ce résultat obtenu est en accord avec le super-polynôme d’entrelacs de Hopf calculé dans[159]. Le succès du vertex topologique raffiné a permis d’ouvrir une nouvelle directiondans l’étude des invariants d’entrelacs de Hopf. La fonction de partition de la corde a étéreliée aux invariants sl(N) d’entrelac de Hopf coloré par d’autres représentations sl(N).Cependant, même si ces résultats sont encore bien loin d’avoir des interprétations dans lathéorie des noeuds. Il s’agit donc d’un nouveau terrain encore à explorer.224