Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Chapitre 8Annexe : Fonctions de Schur etMacMahonLes diagrammes et les tableaux de Young à deux dimensions constituent un des ingrédientsprincipaux dans ce mémoire de thèse. Ils jouent un rôle crucial dans la dérivationde plusieurs résultats de la théorie des cordes topologiques et les théories conformes sousjacentes. Ce sont des objets combinatoires qui ont été introduits par Young au début du20 ème siècle pour l’étude des représentations irréductibles des groupes de symétries. Lesdiagrammes et les tableaux de Young à 2D sont représentés sous forme d’empilement deboites de longueur décroissante et ont été généralisés récemment pour des dimensions supérieures; en particulier à trois dimensions.Dans cette annexe, nous introduisons dans un premier temps les diagrammes et tableauxde Young à 2D. Puis nous examinons les fonctions symétriques et les propriétés des polynômesde Schur s(X). Grâce à leur interprétation combinatoire en terme de tableaux deYoung, ces fonctions de Schur permettent de déterminer entre autres les fonctions génératricesde nombreuses familles de partitions planaires, en particulier fonction de MacMahonM 3d (q) qui sera considérée dans la dernière section de cette annexe.8.1 Diagrammes et tableaux de YoungCette section présente les notions de base pour les partitions d’entiers ainsi que plusieursdéfinitions s’y rattachant [182, 183, 184]. En donnant les propriétés de l’ensemble destableaux de Young, un entier naturel n peut être décomposé de différentes façons en somme243