Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

2.3 Variétés de CY toriquesEn général, une variété torique de dimension complexe n est une fibration en tore T n (d’oùle nom torique) sur un espace de base B n réelle linéaire (pas nécessairement compact) avecdes bords où des 1-cycles de T n dégénèrent. Dans le cas où la base B n est compacte, lavariété torique résultante sera aussi compacte. Cette variété torique est bien adaptée àl’espace complexe C n qui est alors réalisé comme une fibration en tore T n sur une sousvariétéLagrangienne L de C n en utilisant l’action U(1) :z i → z i e iθ i, θ i ∈ [0, 2π] . (2.33)Localement, nous pouvons écrire C n comme suit :C n ≈ O + × T noù O + désigne le "octant positif" (|z i | 2 0). Cette réalisation signifie que chaque point deO + ∼ R n + est attaché au produit de n cercles obtenus en fixant |z i | et en laissant θ i variable.Il s’ensuit que la sous variété lagrangienne pour θ i = cte est isomorphe au segment positifR n qui est représenté par |z i | 2 ≥ 0, avec i = 1, · · · n, au lieu de |z i | afin de rendre la baselinéaire 1 . L’action de T n avec l’action de U(1) n qui agit sur |z i | 2 recouvrent la variété C n .Par la suite, on peut construire un grand nombre de variétés de Calabi-Yau qui possèdent,en plus, la propriété d’être des variétés toriques.2.3.2 Variétés de Calabi-Yau toriquesLes variétés de Calabi-Yau toriques à n-dimensions ; en particulier à trois dimensionscomplexes, possèdent une application moment particulière 2 . En effet considérons les coordonnéescomplexes z 1 , · · · , z k de la variété C k etµ a : C k → C (2.34)l’application moment avec a = 1, · · · , k − 3 est défini comme suit :k∑Q i a|z i | 2 = Re(t a ), (2.35)i=1où t a sont des modules complexes. La condition de Calabi-Yau impose quek∑Q i a = 0, (2.36)i=11 la projection de l’espase de base ∣ ∣z i∣ ∣ → ∣ ∣z i∣ ∣ 2 est appelée aussi le moment map2 l’action hamiltonnien d’un groupe de Lie sur une variété symplectique est associée à une applicationappelée l’application moment.36