Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

3.3 Invariants topologiquesL’action des champs des cordes devient une somme des actions de Chern-Simons pour lesdeux champs de jauge S CS CS(A) et S (Ã)∮ ( )T r¯φ d + A − Ã φ. (3.79)ΓLe premier terme correspond tout simplement à l’action de la théorie de jauge qui correspondau terme cinétique ¯φdφ. Il suffit d’effectuer une intégration sur ces champs pourobtenir l’opérateur de Ooguri-Vafaexp∞∑n=11n (T rU n ) (T rV n ) = ∑ R(T r R U) (T r R V ) . (3.80)Alors, l’action de la théorie de Chern-Simons des champs de jauge A en présence de probebrane 1 est sous la forme :∫DA e ∑ −S Cs(A)T r R UT r R V = ∑RR〈 ∮WRT Γ r R V, WR Γ = T r R P expΓA〉. (3.81)Ce qui prouve que la fonction de partition de la théorie de corde topologique est unefonction génératrice des invariants des noeuds pour toutes les représentations possibles.L’action effective des champs de jauge sur ˜C K est sous cette forme :) )S(Ãouverte = S(ÃCS + F ouverte (V ) (3.82))avec les corrections F(Ãouverte qui sont déterminées en intégrant sur les champs φ et A.Pour terminer cette analyse, nous allons voir l’action effective des champs de l’autre côtéde dualité. Sur le conifold résolu, l’action effective des champs s’écrit comme :) )S(Ã = S(ÃCS + F (V ) , (3.83))avec S(ÃCS est l’action de la théorie de Chern-Simons en présence des corrections F (V ).Ces corrections sur la corde fermée proviennent des instantons de surface d’univers quienroulent les S 2 et qui finissent sur ˜C Γ .Dans le cas où Γ = ”unknot”, on trouve un accord entre les corrections des deux côtés dedualité. Ces corrections sont analysées en détail dans [126]F open (V ) | Γ=unknot = F (V ) | Γ=unknot .1 Probe brane désigne une brane qui ne va pas affecter le background.68