Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

5.4 Vertex raffiné et homologie des entrelacsAinsi, nous remarquons que les deux fonctions de partition ne sont égales que si les deuxparamètres de Kahler avant et après la transition flop sont liés par l’équation :Q = ˆQ −1 (3.24)En effet, la fonction de partition de la corde ouverte en utilisant le vertex topologique usuelest invariant sous la transition de flop. La même procédure sera appliquée cette fois aucas de vertex topologique raffiné. La fonction de partition correspondante au diagrammetorique du conifold résolu en appliquant les règles de collage est exprimée sous cette forme :Z (a) (Q, t, q) = ∑ α (−Q)|α| C α1 αβ 1(t, q)C β2 α t α 2(q, t)= ∑ α,τ,σ (−Q)|α|( ) 1q 2 (‖α‖2 +‖β 1 ‖ 2 ) 1tt(× s α t1/τ(t −ρ q −β 1 )sα/τ (q −ρ t −βt 1 ) ×(× P α t2(q −ρ ; t, q)tq2 κα P β t1(t −ρ ; q, t) ( q) 12 (|τ|+|α 1|−|α|)t) 1t 2 (||αt || 2 +||α 2 || 2 ) (3.25)qq− 1 2 κα) 12 (|σ|+|β 2 |−|α|) s β t2 /σ(q −ρ t −α 2)s α t /σ(t −ρ q −αt 2 ).Un calcul analogue à celui qui a donné la fonction de partition avant la transition de flop,donne la fonction de partition après la transition correspondante (voir la figure 3-8b)Z (b) (Q, t, q) = ∑ α (−Q)|α| C α,β2 ,β 1(t, q)C α t ,α 1 ,α 2(q, t)= ∑ α,τ,σ (−Q)|α|( ) 1q 2 (||β 2 ||2 +||β 1 || 2 ) 1tt(× s α t /τ(t −ρ q −β 1 )sβ2 /τ(q −ρ t −βt 1 ) ×(× P α t2(q −ρ ; t, q)tq) 12 κ β 2 P β t1(t −ρ ; q, t) ( qtq) 12 (||α 1|| 2 +||α 2 || 2 )q12 κα 1t) 12 (|τ|+|α|−|β 2 |)2 (|σ|+|α|−|α 1|)sα/σ (q −ρ t −α 2)s α1 /σ(t −ρ q −αt 2 ).(3.26)Le formalisme du vertex topologique que nous avons étudi donne le même résultat pour lesdeux géométries (avec branes) liées par la transition de flop. Cette ”symétrie”, cependant,n’est pas conservée dans le formalisme du vertex topologique raffiné. La section suivantemontre que les fonctions de partition que nous avons étudié, ont un lien très étroit avec lesinvariants des cordes topologiques.6.4 Vertex raffiné et homologie des entrelacsL’une des propriétés les plus intéressantes du vertex topologique raffiné est la relationdes invariants d’homologie d’entrelacs de Hopf [127] [176] avec les fonctions des partitionsraffinées [159]. Dans cette section, nous déterminons les fonctions de partition des théoriesdes cordes topologiques ouvertes raffinées d’une configuration de deux branes sur le conifold220