Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Fonctions de Schur et MacMahonla manière suivante : Etant donnés deux partitions λ et ν, une partition gauche est unepartition 3D de la forme λ/ν avec {π i,j | (i, j) ∈ λ/ν}. La fonction génératrice correpondantaux partitions planes de la forme ν c est donnée parZ ν (q) := ∑ π(ν c )q |π| =∏ ( )1 − qĥ(i,j) . (3.9)(i,j)∈ν coù ĥ (i, j) = j − ν i + i − ν t j − 1 est la longueur d’equerre d’une boîte (i, j) ∈ ν c . Si unepartition ν est égale à ∅, alors la fonction génératrice devient la fonction de Macmahon à3DM (q) := Z ∅ (q) =∞∏ ( ) 1 − qk −k. (3.10)Cette fonction est exactement la fonction de partition de la corde topologique de type Asur C 3 . Nous avons eu l’occasion de détailler ce résultat au chapitre 1.k=1Fonctions de MacMahon raffinéDans la version raffiné, la fonction de Macmahon à 3 dimensions est donnée en termesdes opérateurs de création et d’annihilation par l’expression suivante :M (q, t) = ∑ q P ∞i=1 |π(−i)| t P ∞i=1 |π(j−1)|〈 π= 0 | ∏ ) ∏ (Γ +(q n− 1 2 Γ − t −(m− 1 2) ) 〉| 0(3.11)n>0m>0∏M (q, t) . = ∞ (1 − q i−1 t j ) −1i,j=1Ce résultat constitue un premier pas vers la composition de vertex topologiques raffiné etpermet d’avoir une relation avec les invariants des noeuds de Khovanov.Fonction de MacMahon shiftéNous proposons maintenant comment associer un diagramme de Young shifté à unefonction de Macmahon via le formalisme de matrice de transfert [185, 186, 188, 189]. Avantde démontrer la fonction de partition, il est utile de rappeler quelques outils, à savoir lesopérateurs vertex, opérateurs de création et annihilation en fonction des diagrammes deYoung shifté.( ∑ )2Γ + (x) = expm∈N impaire m zm λ m( ∑ )2Γ − (y) = expm∈N impaire m zm λ −m267,.