Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

4.4 Modèle du cristal fondu et conifold résoluEt en utilisant la relation entre les variables du diagramme de Maya et celles des diagrammesde Young nécessite une expression de la fonction diagonale en termes des paramètresq et tP diag (λ, µ, ν) = t − |λ|2 q −|µ|2 Z ν (t, q) ∑ η( qt) |η|/2sλ t /η(t −ρ q −ν )s µ/η (t −νt q −ρ ) .En multipliant par q −n(λt) t −n(µ) , la fonction perpendiculaire s’écrit en termes de P diag (λ, µ, ν)comme suit :P λ,µ,ν (t, q) = = q −n(λt )− |µ||µ|−n(µ)− 2 t 2 Z ν (t, q) ∑ η( qt) |η|/2sλ t /η(t −ρ q −ν )s µ/η (t −νt q −ρ )= q − |λ||22 t − ||µt || 22 Z ν (t, q) ∑ η( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η(t −ρ q −ν )s µ/η (t −νt q −ρ ).(3.52)La connaissance de la fonction de partition perpendiculaire (3.52) aussi bien que l’expressionde la fonction de MacMahon à 3 dimensions (3.46) , est suffisante pour donnerl’expression explicite de vertex topologique raffiné en termes des fonctions de schur :C λµν (t, q) = q f(ν) t g(ν) q ‖λ‖2 + ‖µ‖2 P λµν (t,q)2 2M(t,q)= q f(ν) t ( ) g(ν) ‖µ‖ 2q 2t k(µ) Z2 ν(t,q)tM(t,q)∑= q f(ν) t ( ) g(ν) ‖µ‖ 2q 2t k(µ)2 ˜Zν (t, q) ∑ tηη( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η(t−ν t q −ρ)( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η(t−ν t q −ρ)(3.53)les fonctions f(ν) et g(ν) sont données par f(ν) + g(ν) = ||ν||2 . Il s’avère que cette relation2n’est pas suffisante pour fixer les deux fonctions f(ν) et g(ν). Or, le choix le plus courantest de prendre g(ν) = 0 et par conséquent le vertex topologique raffiné s’exprime en termesde la généralisation de la fonction de Schur :⎧⎪⎨C ∅∅ν (t, q) = q ||ν||22 ˜Zν (t, q)⎪⎩= q k(ν)2 Q ν (q −ρ ; t, q),= ( ) ||ν|| 2q 2Pt ν t(t −ρ ; q, t)(3.54)où P ν t(t −ρ ; q, t) et Q ν (q −ρ ; t, q) sont respectivement des fonctions de Macdonald et leurduales. Finalement, après la considération des éq(3.54) et (3.53), la forme générale duvertex topologique raffiné est :C λµν (t, q) = ( ) ‖µ‖ 2 +‖ν‖ 2q 2t k(µ)2 Ptν t(t −ρ ; q, t) ∑ η( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η(t−ν t q −ρ)Notons que pour le cas où t = q, le vertex topologique raffiné n’est autre que le vertextopologique standard en prenant P ν (q −ρ ; q, q) = s ν (q −ρ ).120