Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Variétés de CY et Géométrie Toriquela compactificatoion des théories des supercordes.L’un des objectifs de cette section est d’exhiber explicitement la condition de Calabi-Yaudans le cadre de la géométrie torique [114, 115]. Ainsi, après avoir introduit quelques propriétésessentielles, nous étudierons différentes formulations de la condition de Calabi-Yaupour les variétés toriques. Nous montrons en particulier que la variété de Calabi-Yau toriquedoit être non compacte. Nous donnons également une description intuitive de la géométrietorique en utilisant le ”quotient symplectique” [113]. Cette description diffère de laprésentation mathématique habituelle de la géométrie torique, mais permet néanmoins decomprendre les constructions géométriques des variétés toriques, leur sous-variétés lagrangiennesspéciales et leurs réalisations en terme des modèles sigma linéaires supersymétriques[116].2.3.1 Variétés toriquesLes variétés toriques peuvent être décrites soit à l’aide de Fans [117]- [118] et descoordonnées homogènes [119], ou être considérées comme des variétés symplectiques, ouencore comme une branche de Coulomb de l’espace des états supersymétriques du modèlesigma linéaire Jaugé (GLSM : Gauged Linear Sigma Model) [50]- [122].Rappelons tout d’abord la définition d’une variété torique. Pour cela, on considère l’espacecomplexe C m muni d’une action par un tore algébrique (C ∗ ) p , p < m ainsi que le sousensemble U ⊂ C m fixé par un sous-groupe de (C ∗ ) p . Le quotient géométriqueM = Cm \UG(2.30)dont les classes d’équivalence suivantes :(w 1 , ..., w m ) ∼ (λ Q1 aw 1 , ..., λ Qm aw m ) a = 1, ..., m − 3. (2.31)est une variété torique de dimension trois complexe. De cette définition découle que, lesespaces complexes projectifs CP n sont des variétés toriques. A titre d’exemple le planprojectif CP 2 est une variété torique donnée par,CP 2 = (C 3 \{0})/C ∗ ,où le quotient est défini par la relation d’équivalence suivante :(x, y, z) ∼ λ(x, y, z), où λ ∈ C ∗ . (2.32)35