Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Fonction de MacMahonfonction de partition de la théorie des cordes topologiques sur la variété de CY.Dans cette dernière section, nous énonçons et démontrons le résultat analogue à ceux quiprécèdent, mais dans le contexte de formalisme de matrice de Transfert permettant d’atteindreles expressions des fonctions de Macmahon standard, raffiné, shifté et coloré.Le formalisme de matrice de transfert 1 peut désormais être exprimé selon deux opérateursde création et d’annihilation qui consiste à décomposer une partition 3d en tranches diagonales,ce qui permet d’effectuer une suite des partitions 2d. Alors la fonction génératricedu nombre de partitions s’écrit :∑Z (q) :=q |π| (3.7)π−3d partitionsFig. 3-16 – une suite des partitions standard 2D et partition 3D.La décomposition de partition 3D sera une suite des partitions 2D rangées par ordre croissantde a = −∞ jusqu’à 0 et décroissant de a = 1 jusqu’à ∞. Okounkov–Reshetikhin–Vafa,montrent que la fonction (3.7) peut s’exprimer en fonction des opérateurs de création etd’annihilation. Ce qui donne une expression simple de la série génératrice correspondante,c’est à dire la fonction de Macmahon généralisée à 3D〈 ( ∞) (∏∞) 〉Z (q) : = 0 | q L 0∏Γ + (1) q L 0Γ − (1) q L 0| 0〈 n=1m=1Z (q) : = 0 | ∏ ) ∏ (Γ +(q n− 1 2 Γ − q − (m− 1 2) ) 〉| 0(3.8)n>0m>0= ∏ ∞( )k=1 1 − qk −k= M (q) .Ce résultat était principalement obtenu en utilisant le formalisme de matrice de transfert(voir chapitre cristal Calabi-Yau), on peut de même trouver la fonction de Macmahon de1 Ce formalisme est détaillé dans le chapitre I.266