Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Amplitudes des cordes topologiques5.2 Vertex topologique II : Calcul des amplitudesDans la section précédente, nous avons présenté tout les ingrédients nécessaires dansl’usage du formalisme du vertex topologique pour le calcul des amplitudes de la cordetopologique. Pour ce formalisme, l’idée centrale est d’associer une amplitude à chaquediagramme torique. Afin de mieux illustrer ce fait et dans l’objectif de mieux comprendreles différentes régles de la première partie concernant le vertex topologique, nous consacronsla partie qui suit à des exemples concrets très pratiques et utilisables dans le cadre descordes topologiques.5.2.1 L’espace complexe C 3On va calculer la fonction de partition de la corde topologique en utilisant le vertextopologique lorsqu’une pile de lagrangiennes D-branes se terminent sur l’un des axes duC 3Z(q; V ) = ∑ C ∅ ∅ ν (q −1 ) T r ν V (3.12)νavec T r ν V =s ν (x) et dont x = {x 1 , x 2 , · · · } sont les valeurs propres de la matrice d’holonomieVZ(q; V ) = ∑ ν C ∅ ∅ ν(q −1 ) s ν (x)= ∑ ν s ν(q ρ ) s ν (x)∏= ∞ (1 + q −i+ 1 2 x j )i,j(3.13)Dans le cas d’une seule lagrangienne D-brane, x = (−Q, 0, 0, 0, ), la fonction de partitionest définie comme suit :Z(q; Q) = ∏ (1 − Qq −i+ 1 2 ) (3.14)i5.2.2 Variété locale P 2Nous allons maintenant examiner un exemple plus complexe, à savoir la variété deCalabi-Yau non-compacte O(−3) → P 2 connue sous le nom locale P 2 . Il s’agit, en effet, dedéterminer l’amplitude correspondante en utilisant le formalisme du vertex topologique. Ilest commode de formuler cette amplitude en utilisant le diagramme torique décrit dans lechapitre 2. La variété de Calabi-Yau X = O(−3) → P 2 peut être décrite dans le languagedu modèle sigma linéaire N = 2 à 2d par 4 champs chiraux z µ (µ = 0, 1, 2, 3),|z 1 | 2 + |z 2 | 2 + |z 3 | 2 − 3|z 0 | 2 = t (3.15)163